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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 31

Determine a função densidade de probabilidade de Y = e X quando X é normalmente distribuída com parâmetros μ   e   σ 2 . Diz-se que a variável aleatória Y tem distribuição log-normal (já que log Y tem distribuição normal) com parâmetros μ   e   σ 2 .

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

A função de densidade de probabilidade de X ( f x ) é,

f x = 1 σ 2 π e - 1 2 x - μ σ 2     - ∞ < x < ∞ ,   - ∞ < μ < ∞ ,       σ ² ≥ 0

O intervalo de X é o seguinte

X = log ⁡ Y ; 0 < y < ∞

Logo, tem solução única.

Passo 2

Agora, vamos calcular a função de densidade de probabilidade usando a fórmula abaixo:

f y = f x d y d x

Pelo que vimos no Passo 1:

f x = 1 σ 2 π e - 1 2 x - μ σ 2     - ∞ < x < ∞ ,   - ∞ < μ < ∞ ,       σ ² ≥ 0

y = e X

Jogando na fórmula:

f y = 1 σ 2 π e - 1 2 x - μ σ 2 e X

Também vimos no Passo 1 que:

X = log ⁡ Y ; 0 < y < ∞

Então:

f y = 1 σ 2 π e - 1 2 log ⁡ Y - μ σ 2 e log ⁡ Y

f y = 1 y σ 2 π e - 1 2 log ⁡ Y - μ σ 2

Jogando o σ 2 para dentro da raiz:

f y = 1 y 2 π σ 2 e - 1 2 log ⁡ Y - μ σ 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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