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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 14

Suponha que a função distribuição cumulativa da variável aleatória X seja dada por

F x = 1 - e - x 2                         x > 0

Avalie (a) P ( X > 2 ) ; (b) P ( 1 < X < 3 ) ; (c) a função taxa de risco de F; (d) E ( X ) ; (e) V a r ( X ) .

Dica: Para as letras (d) e (e), você precisa utilizar os resultados do Exercício Teórico 5.5.

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

O enunciado nos deu a fórmula abaixo, e a partir dela, vamos calcular cada letra:

F x = 1 - e - x 2                         x > 0

Começando pela (a):

P X > 2 = 1 - P ( X ≤ 2 )

P X > 2 = 1 - F ( 2 )

P X > 2 = 1 - 1 - e - 4 = 0,0183

Passo 2

Show, agora vamos para a letra (b).

F x = 1 - e - x 2                         x > 0

Calculando:

P 1 < X < 3 = P ( X < 3 ) - P ( X < 1 )

P 1 < X < 3 = F ( 3 ) - F ( 1 )

P 1 < X < 3 = 1 - e - 9 - 1 - e - 1 = 0,0182

Passo 3

Show, agora vamos para a letra (c).

Para calcularmos a função de taxa de risco, vamos começar derivando a nossa F(x):

F x = 1 - e - x 2                         x > 0

d F d x = - e - x 2 - 2 x = 2 x e - x 2

Agora vamos aplicar a fórmula da função de taxa de risco:

μ x = f ' x 1 - F ( x )

μ x = 2 x e - x 2 1 - ( 1 - e - x 2 ) = 2 x

Passo 4

Show, agora vamos para a letra (d).

f ( x ) = 2 x e - x 2

Agora vamos calcular E ( X ) :

E X = ∫ 0 ∞ x 2 x e - x 2 d x

E X = ∫ 0 ∞ 2 x ² e - x 2 d x = π 2

Passo 5

Show, agora vamos para a letra (e).

E X = π 2

f ( x ) = 2 x e - x 2

Agora vamos calcular V a r ( X ) :

V a r X = E X ² - ( E X ) ²

V a r X = E X ² - π 2 2

V a r X = E X ² - π 4

Ok, agora precisamos calcular E X ² para finalizar:

E X ² = ∫ 0 ∞ x ² 2 x e - x 2 d x

E X ² = ∫ 0 ∞ 2 x ³ e - x 2 d x = π

Substituindo na fórmula anterior:

V a r X = E X ² - π 4

V a r X = π - π 4 = 3 π 4

Resposta

a )   0,0183

b )   0,0182

c )   2 x

d )   π 2

e )   3 π 4

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