Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 39

Determine o valor de c, a covariância e a correlação para a função densidade de probabilidade conjunta f x y x , y = c x y para a faixa de 0 < x < 3 e 0 < y < x .  

Passo 1

Temos a seguinte função de densidade conjunta de X e Y:

f ( x , y ) = c x y           p a r a   0 < x < 3,0 < y < x 0           c a s o   c o n t r á r i o  

Vamos encontrar o valor de c, de forma que a densidade dada seja uma densidade adequada.

Vamos integrar com região inteira e isso deve ser igual a 1.

∬ 0 < x < 3   f ( x , y ) d y d x = 1 ∫ 0 3   ∫ 0 x   f ( x , y ) d y d x = 1 ∫ 0 3   ∫ 0 x   c x y d y d x = 1 c ∫ 0 3   x y 2 2 0 x d x = 1 c ∫ 0 3   x x 2 2 d x = 1 c 2 ∫ 0 3   x 3 d x = 1 c 2 x 4 4 0 3 = 1 c 2 3 4 4 = 1 c = 8 81

Passo 2

A função de densidade adequada é:

f ( x , y ) = 8 81 x y           p a r a   0 < x < 3,0 < y < x 0           c a s o   c o n t r á r i o  

Agora, vamos calcular a covariância:

Cov ⁡ x , y = E x y - E x E y

E ( x ) = ∫ x = 0 3   ∫ y = 0 x   x f ( x , y ) d y d x = ∫ 0 3   ∫ 0 x   x 8 81 x y d y d x = 8 81 ∫ 0 3   x 2 ∫ 0 x   y d y d x = 8 81 ∫ 0 3   x 2 y 2 2 0 x d x = 4 81 ∫ 0 3   x 4 d x = 4 81 x 5 5 0 3 = 4 81 3 5 5 = 12 5

Passo 3

E ( y ) = ∫ y = 0 3   ∫ x = y 3   y f ( x , y ) d x d y = ∫ 0 3   ∫ y 3   y 8 81 x y d x d y = 8 81 ∫ 0 3   y 2 ∫ y 3   x d x d y = 8 81 ∫ 0 3   y 2 x 2 2 y 3 d y = 8 81 ∫ 0 3   y 2 3 2 - y 2 2 d y = 4 81 ∫ 0 3   3 y 2 - y 4 d y = 4 81 3 y 3 3 - y 5 5 0 3 = 4 51 3 3 - 3 5 5

= 8 5

E ( x y ) = ∫ 0 3   ∫ 0 x   x y 8 81 x y d y d x = 8 81 ∫ 0 3   x 2 ∫ 0 x   y 2 d y d x = 8 81 ∫ 0 3   x 2 y 3 3 0 x d x = 8 3 ⋅ 81 ∫ 0 3   x 5 d x = 8 3 ⋅ 81 x 6 6 0 3 = 8 3 ⋅ 81 3 6 6 = 4

Portanto,

C o v ⁡ ( x , y ) = E ( x y ) - E ( x ) E ( y ) = 4 - 12 5 ⋅ 8 5 = 4 25

Passo 4

Vamos encontrar a correlação:

C o r r ⁡ ( x , y ) = Cov ⁡ x , y Var ⁡ x Var ⁡ y V a r ⁡ ( x ) = E x 2 - [ E ( x ) ] 2 V a r ⁡ ( y ) = E y 2 - [ E ( y ) ] 2

E x 2 = ∫ x = 0 3   ∫ y = 0 x   x 2 f ( x , y ) d y d x = ∫ 0 3   ∫ 0 x   x 2 8 81 x y d y d x = 8 81 ∫ 0 3   x 3 ∫ 0 x   y d y d x = 8 81 ∫ 0 3   x 3 y 2 2 0 x d x = 8 81 ∫ 0 3   x 5 d x

= 4 81 x 6 6 0 3 = 4 81 ⋅ 3 6 6 = 6

V a r ⁡ ( x ) = E x 2 - [ E ( x ) ] 2 = 6 - 12 5 2 = 6 25

Passo 5

E y 2 = ∫ y = 0 3   ∫ x = y 3   y 2 f ( x , y ) d x d y = ∫ 0 3   ∫ y 3   y 2 8 81 x y d x d y = 8 81 ∫ 0 3   y 3 ∫ y 3   x d x d y = 8 81 ∫ 0 3   y 3 x 2 2 y 3 d y = 8 81 ∫ 0 3   y 3 3 2 - y 2 2 d y = 4 81 ∫ 0 3   3 y 3 - y 5 d y = 4 81 3 y 4 4 - y 6 6 0 3 = 4 81 3 ⋅ 3 4 4 - 3 6 6 = 3

V a r ⁡ ( y ) = E y 2 - [ E ( y ) ] 2 = 3 - 8 5 2 = 11 25

Portanto,

C o r r ⁡ ( x , y ) = Cov ⁡ x , y Var ⁡ x Var ⁡ y = 4 25 6 25 ⋅ 11 25 = 4 25 6.11 25 = 0.4924

Resposta

c = 8 81 C o v ⁡ ( x , y ) = 4 25 C o r r ⁡ ( x , y ) = 0.4924

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que as v.a. X e Y tenham f.d.p.Calcule as f.d.p. marginais de X e Y.
Calcule fXY(x|y) e fYX(y|x) para a densidade do Problema 18.
Considere as variáveis aleatórias X e Y com função de densidade conjunta f x ,y = x + y ,0 ≤ x ,y ≤ 1 0 ,c a s oc o n t r á r i o á (a) Determine as distribuições marginais de X e Y .(b) Determine P (
A densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias X , Y e Z é f x ,y ,z = 4 x y z 2 9 , 0x ,y1 ; 0z3 0 ,c a s oc o n t r á r i o á Determine(a) a função de densidade marginal conjunta de
A função de densidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y é f x ,y = 6 x ,0x1 , 0y1 - x 0 , c a s oc o n t r á r i o á (a) Mostre que X e Y não são independentes.(b) Determine P ( X0,3 | Y = 0,5 )