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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 88

A distância entre fraturas grandes em uma auto-estrada segue uma distribuição exponencial, com uma média de 5 milhas.

  1. Qual é a probabilidade de não haver grandes fraturas em uma extensão de 10 milhas de auto-estrada?
  2. Qual é a probabilidade de haver duas grandes fraturas em uma extensão de 10 milhas de auto-estrada?
  3. Qual é o desvio-padrão da distância entre grandes fraturas?
  4. Qual é a probabilidade de que a primeira grande fratura ocorra entre 12 e 15 milhas a partir do começo da inspeção?
  5. Qual é a probabilidade de não haver grandes fraturas em duas extensões separadas por 5 milhas de auto-estrada?
  6. Dado que não haja fraturas nas 5 primeiras milhas inspecionadas, qual é a probabilidade de não haver grandes fraturas nas próximas 10 milhas inspecionadas?

Passo 1

Seja X a variável aleatória distribuída exponencialmente com o seguinte média:

E ( X ) = 5

É uma variável aleatória contínua com a função de densidade de probabilidade e a função de distribuição cumulativa dados como:

f ( x ) = λ e - λ x ,   x   ≥   0

F ( x ) = 1 - e - λ x , x   ≥   0

Então, vamos calcular o parâmetro λ com a fórmula conhecida para a média da distribuição exponencial:

5 = E ( X ) = 1 λ

E assim temos:

λ = 1 5 = 0.2

Daí, vamos calcular.

Passo 2

Letra a:

P ( X > 10 m i l h a s ) = 1 - F ( 10 ) = e - 0.2 × 10 = e - 2 = 0.135

Passo 3

Letra b:

Vamos introduzir a variável aleatória de Poisson Y com a taxa λ = 0.2 fratura por milha, associado à variável aleatória exponencial X . Y é interpretado como o número aleatório de fraturas em uma determinada milhagem T. É um variável aleatória discreta com a função de massa de probabilidade:

g ( y ) = ( λ T ) y e - λ T y ! , y   ≥   0

Fazendo T =   10   m i l h a s

Temos:

P ( Y = 2 ) = g ( 2 ) = ( 0.2 × 10 ) 2 e - 0.2 × 10 2 ! = 0.27

Passo 4

Letra c:

Vamos calcular o desvio padrão da variável aleatória X :

d e s v i o - p a d r ã o ( X ) = 1 λ 2 = 1 0.2 = 5

Passo 5

Letra d:

P ( 12 < X < 15 ) = F ( 15 ) - F ( 12 ) = e - 0.2 × 12 - e - 0.2 × 15 = 0.0409

Passo 6

Letra e:

Assumindo a independência, temos:

P ( X > 5 ) 2 = ( 1 - F ( 5 ) ) 2 = e - 2 × 0.2 × 5 = e - 2 = 0.135

Passo 7

Letra f:

Empregando a propriedade de falta de memória:

P ( X > 15   |   X > 5 ) = 1 - P ( X < 15   |   X > 5 ) =   = 1 - P ( X < 10 ) = 1 - F ( 10 ) = e - 0.2 × 10 = 0.135

Resposta

  1. 0.135
  2. 0.27
  3. 5
  4. 0.0409
  5. 0.135
  6. 0.135
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