Em uma cidade, o consumo diário de água (em milhões de litros) segue, aproximadamente, uma distribuição gama com α = 2 e β = 3 . Se a capacidade diária da cidade é de nove milhões de litros de água, qual é a probabilidade de que, em qualquer dia escolhido, o suprimento de água seja inadequado?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Se o abastecimento de água for inadequado, quer dizer que a capacidade de água é inferior a 9 milhões de litros. Portanto, devemos calcular a integral abaixo:

P   0 < X < 9 = ∫ 0 9 f ( x ) d x

Onde, a função f ( x ) é a função de densidade da distribuição gama com α = 2 e β = 3 . Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Substituindo os valores dados no exemplo e aplicando a função de densidade da distribuição gama, temos:

P   0 < X < 9 = ∫ 0 9 f ( x ) d x

= ∫ 0 9 1 3 2 ∙ 1 x 2 - 1 e - x / 3 d x

= 1 9 ∫ 0 9 x e - x / 3 d x

= 1 9 - 3 x e - x / 3 - 9 e - x / 3 0 9

P   0 < X < 9 = 0 , 8007517

Resposta

P   0 < X < 9 = 0,8007517

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