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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 88

Um jogador de videogame é confrontado com uma série de oponentes e tem uma probabilidade de 80% de derrotar cada um deles. O sucesso com cada oponente é independente de confrontos prévio. O jogador continua a enfrentar oponentes até ser derrotado.

  1. Qual é função de probabilidade do número de oponentes enfrentados em um jogo?
  2. Qual é a probabilidade de o jogador derrotar no mínimo dois oponentes em um jogo?
  3. Qual é o número esperado de oponentes enfrentados em um jogo?
  4. Qual é a probabilidade de o jogador enfrentar quatro ou mais oponentes em um jogo?
  5. Qual é o número esperado de jogos até que um jogador enfrente quatro ou mais oponentes?

Passo 1

Temos os seguinte dados:

p = 100 % - 80 % = 20 % = 0.2

Vamos às contas:

Passo 2

Letra a:

A distribuição de uma variável que mede o número de tentativas até o primeiro sucesso (derrotar ou perder) é uma distribuição geométrica.

Definição de probabilidade geométrica:

P ( X = k ) = q k - 1 p = ( 1 - p ) k - 1 p

Vamos avaliar a definição em p = 0.8 :

f X ( k ) = P ( X = k ) = q k - 1 p = ( 1 - 0.2 ) k - 1 0.2 = 0 . 8 k - 1 0.2

Passo 3

Letra b:

Regra do complemento:

P ( n ã o   s e r   A ) = 1 - P ( A )

O jogador derrota dois oponentes se o jogador for derrotado no terceiro jogo ou em um jogo posterior.

Vamos avaliar a definição k = 1.2 :

P ( X = 1 ) = ( 1 - 0.2 ) 1 - 1 0.2 = 0 . 8 0 0.2 = 0.2

P ( X = 2 ) = ( 1 - 0.2 ) 2 - 1 0.2 = 0 . 8 1 0.2 = 0.16

Usando a regra do complemento:

P ( X ≥ 3 ) = 1 - P ( X < 2 ) = 1 - P ( X = 1 ) - P ( X = 2 ) = 1 - 0.2 - 0.16 = 0.64

Passo 4

Letra c:

O valor esperado de uma distribuição geométrica é o recíproco da probabilidade de sucesso p :

μ = 1 p = 1 0.2 = 1 1 5 = 5

Passo 5

Letra d:

A regra de complemento é:

P ( n ã o   s e r   A ) = 1 - P ( A )

O jogador contesta 4 ou mais oponentes, se for derrotado no quarto jogo ou um jogo posterior.

Vamos avaliar a definição em k = 1,2 , 3 :

P ( X = 1 ) = ( 1 - 0.2 ) 1 - 1 0.2 = 0 . 8 0 0.2 = 0.2

P ( X = 2 ) = ( 1 - 0.2 ) 2 - 1 0.2 = 0 . 8 1 0.2 = 0.16

P ( X = 3 ) = ( 1 - 0.2 ) 3 - 1 0.2 = 0 . 8 2 0.2 = 0.128

Usando a regra do complemento:

P ( X ≥ 4 ) = 1 - P ( X < 3 ) = 1 - P ( X = 1 ) - P ( X = 2 ) - P ( X = 3 ) = 1 - 0.2 - 0.16 - 0.128 = 0.512

Passo 6

Na letra e:

Vamos pegar o resultado da letra d que é p = 0.512

O valor esperado de uma distribuição geométrica é o inverso da probabilidade de sucesso p :

μ = 1 p = 1 0.512 ≈ 1.953125 ≈ 2

Assim, esperamos cerca de 2 jogadas.

Resposta

  1. f X ( k ) = 0 . 8 k - 1 0.2
  2. 0.64
  3. 5
  4. 0.512
  5. 2
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