Enunciado

As alturas de mil estudantes são normalmente distribuídas com média de 174,5 centímetros e desvio-padrão de 6,9 centímetros. Assumindo que as alturas são registradas para o meio centímetro mais próximo, quantos desses estudantes você esperaria que tivessem alturas

(a) menores que 160 centímetros?

(b) entre 171,5 e 182 centímetros, inclusive?

(c) iguais a 175 centímetros?

(d) maiores ou iguais a 188 centímetros?

Passo 1

Antes de iniciarmos a resolução do exercício de fato, vamos enunciar alguns dados do problema.

São eles:

μ = 174,5   c m   e   σ = 6,9   c m

Nossa variável aleatória X será a altura de um estudante.

Show! Vamos resolver o item a)

Queremos P ( X < 159,75 )

Primeiro, precisamos relacionar X   e   Z .

Z = X - μ σ

Para X = 159,75 , temos:

Z = 159,75 - 174,5 6,9 = - 2,14

Logo, calcular P X < 159,75 é equivalente a calcular P Z < - 2,14

Entretanto, este segundo valor é tabelado e podemos obtê-lo.

Assim,

P X < 159,75 = P Z < - 2,14 = 0,0162

Como estamos estudando 1000 estudantes, temos:

1000 0.0162 = 16   e s t u d a n t e s

Passo 2

Agora partindo ao item b)

Queremos P ( 171,25 < X < 182,25 )

Vamos relacionar X   e   Z

Com X = 171,25 :

Z = 171,25 - 174,5 6,9 = - 0,47

Com X = 182,25 :

Z = 182,25 - 174,5 6,9 = 1,12

Logo, calcular P ( 171,25 < X < 182,25 é equivalente a calcular P ( - 0,47 < Z < 1,12 )

Usaremos um truque para calcular P ( - 0,47 < Z < 1,12 )

P - 0,47 < Z < 1,12 = P Z < 1,12 - P ( Z < - 0,47 )

Esses valores são tabelados, só iremos substituí-los

P - 0,47 < Z < 1,12 = P Z < 1,12 - P Z < - 0,47 = 0,8686 - 0,3192 = 0,5494

Como estamos estudando 1000 estudantes, temos:

1000 0,5494 = 549   e s t u d a n t e s

Passo 3

Resolvendo o item c)

Queremos P ( X = 175 ) , lembremos que as alturas são registradas para o meio centímetro mais próximo, logo queremos:

P 174,75 < X < 175,25

Vamos estudar a relação entre X   e   Z .

Para X = 174,75 :

Z = 174,75 - 174,5 6,9 = 0,04

Para X = 175,25 :

Z = 175,25 - 174,5 6,9 = 0,11

Logo, calcular P 174,75 < X < 175,25 é equivalente a calcular P ( 0,04 < Z < 0,11 )

Usando o truque para calcular, temos:

P 0,04 < Z < 0,11 = P Z < 0,11 - P Z < 0,04 = 0,5438 - 0,5160 = 0,0278

Como estamos estudando 1000 estudantes, temos:

1000 0,0278 = 27   e s t u d a n t e s

Passo 4

Por último, iremos ao item d)

Nesse item queremos P ( X ≥ 187.75 )

Relacionando X   e   Z , temos:

Z = 187,75 - 174,5 6,9 = 1,92

Logo, calcular P X ≥ 187.75 é equivalente a calcular P ( Z ≥ 1,92 )

Usando o complementar, temos:

P Z ≥ 1,92 = 1 - P Z < 1,92 = 1 - 0,9726 = 0,0274

Como estamos estudando 1000 estudantes, temos:

1000 0,0274 = 27   e s t u d a n t e s

Resposta

a) 16   e s t u d a n t e s

b)   549   e s t u d a n t e s

c) 28   e s t u d a n t e s

d) 27   e s t u d a n t e s

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