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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 77

Duas bombas ligadas em paralelo falham independentemente uma da outra em um determinado dia. A probabilidade de que apenas a bomba mais antiga apresente falha é de 0,10 e a probabilidade de que apenas a bomba mais nova o faça é de 0,05. Qual é a probabilidade de que o sistema de bombas apresente uma falha em um determinado dia (que acontece se houver falha em ambas as bombas)?

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar os seguintes eventos:

A = {falha a bomba mais antiga};

B = {falha a bomba mais recente}.

Nos é dado que:

P ( A ∩ B ' )   =   0,1

P ( B ∩ A ' )   =   0,05

Ou igualmente,

P ( A ) - P ( A ∩ B )   =   0,1

P ( B ) - P ( A ∩ B )   =   0,05

Precisamos encontrar P(A∩B), o que podemos fazer usando a propriedade da multiplicação.

Propriedade da multiplicação:

Dois eventos A e B são independentes se e somente se P ( A ∩ B )   =   P ( A ) ⋅ P ( B )

Digamos que   x   =   P ( A ∩ B ) , temos

P ( A )   =   0,1 + x ;

P ( B )   =   0,05 + x ;

Passo 2

Usando a propriedade de multiplicação, temos que:

P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) = ( 0,1 + x ) ⋅ ( 0,05 + x )

de onde obtemos a seguinte uma equação quadrática: x ² - 0,85 ⋅ x + 0,005 = 0

Tal equação nos leva às seguintes soluções:

x 1 =   0.8441     e     x 2 =   0.0059

​ Para cada dois eventos A e B, tal que:

P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A ∩ B )

Para x 1 =   0.8441   temos,

P ( A ∪ B ) = 0,1 + 0,8441 + 0,05 + 0,8441 - 0,8441 = 0,9941

E se assumirmos x 2 =   0.0059 , temos,

P ( A ∪ B ) = 0,1 + 0,0059 + 0,05 + 0,0059 - 0,0059 = 0,1559

Ambas são soluções possíveis pois P A ∪ B ≤ 1 .

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

P A ∩ B = 0.8441 ou P A ∩ B = 0.0059

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