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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 11

Três componentes C 1 , C 2 e C 3 , de um mecanismo são postos em série (em linha reta). Suponha que esses componentes sejam dispostos em ordem aleatória. Seja R o evento { C 2 está à direita de C 1 } , e seja S o evento { C 3 está à direita de C 1 } . Os eventos R e S são independentes? Por quê?

Passo 1

Para que dois eventos sejam independentes, devemos ter

P A   e   B = P A   P B

Estou usando a notação P A ∩ B = P A   e   B . Caso essa igualdade seja verificada, os eventos são independentes. Vamos calcular cada uma dessas probabilidade.

Temos três elementos que vamos pôr em ordem, isso pode ser feito de 3 ! Formas:

t o t a l = 3 ! = 6

Para que o evento R aconteça, devemos ter C 2 à direita de C 1 , o que pode acontecer de três formas distintas

C 1   C 2   C 3

C 1   C 2   C 3

C 3   C 1   C 2

Assim,

P R = 3 6 = 1 2

Já para o evento S , devemos ter C 3 à direita de C 1 :

C 1   C 2   C 3

C 1   C 2   C 3

C 2   C 1   C 3

Logo,

P S = 3 6 = 1 2

Passo 2

Para que tanto R com S aconteçam, os mecanismos C 2 e C 3 devem estar à direita de C 1 , o que ocorrer de duas formas:

C 1   C 2   C 3

C 1   C 3   C 2

Logo,

P R   e   S = 2 6 = 1 3

Com isso, temos

P R   e   S = 1 3             e           P R ⋅ P S = 1 2 ⋅ 1 2 = 1 4

É fácil perceber que

P R   e   S ≠ P R P S

Desta forma, vemos que os eventos não são independentes.

Resposta

Não são independentes.

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