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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Estatistica Mauri Guerra estatistica indutiva- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios propostos - Ex. 11

Uma empresa compra matrizes para gráfica em pacotes contendo 5 matrizes. Sabe-se que 20% das matrizes compradas têm defeitos de fabricação que implicam na sua inutilização. Calcular a probabilidade de:

  1. um pacote conter mais da metade das matrizes inutilizadas;
  2. no máximo 2 pacotes, de um grupo de 6 pacotes, conterem nenhuma matriz inutilizada por pacote.

Passo 1

Oi pessoal, estou feliz em te ver aqui de novo! Vamos relembrar algumas teorias!

Seja p a probabilidade de ocorrer um sucesso, portanto ( 1 - p ) a probabilidade de ocorrer um insucesso, em cada prova. Nas n provas a probabilidade de ocorrer sucessos é:

P x = C n ,       x ∙ p x ∙ ( 1 - p ) n - x

Onde:

C n ,       x = n x = n ! x ! n - x !

Então nossa equação irá ficar:

P x = n ! x ! n - x ! ∙ p x ∙ ( 1 - p ) n - x

Do enunciado temos os seguintes dados:

  • n = 5
  • p = 0,20
  • q = 1 - 0,20 = 0,80

Para o item a) queremos descobrir a probabilidade de um pacote conter mais da metade das matrizes inutilizadas, ou seja P ( x ≥ 3 ) .

  • Quando um pacote tem 3 matrizes inutilizadas:

    • P 3 = 5 ! 3 ! 2 ! ∙ 0,20 3 ∙ 0,80 2 = 0,0512

  • 4 matrizes inutilizadas:

    • P 4 = 5 ! 4 ! 1 ! ∙ 0,20 4 ∙ 0,80 1 = 0,0064

  • E 5 matrizes inutilizadas:

P 5 = 5 ! 5 ! 0 ! ∙ 0,20 5 ∙ 0,80 0 = 0,00032

Portanto a probabilidade de um pacote conter mais da metade das matrizes inutilizadas:

P x ≥ 3 = P 3 + P 4 + P 5 = 0,0579

P x ≥ 3 = 5,79 %

Passo 2

No item b) precisamos primeiramente saber qual a probabilidade de um pacote conter nenhuma matriz inutilizada:

P 0 = 5 ! 0 ! 5 ! ∙ 0,20 0 ∙ 0,80 5 = 0,328

Agora iremos calcular a probabilidade de no máximo 2 pacotes, de um grupo de 6 pacotes, conterem nenhuma matriz inutilizada por pacote:

  • n = 6
  • x ≤ 2
  • p = 0,328
  • q = 1 - 0,328 = 0,672

  • Para nenhum pacote:

    • P x = 0 = 6 ! 0 ! 6 - 0 ! ∙ 0,328 0 ∙ 0,672 6 - 0 = 0,092

  • Para 1 pacote:

    • P x = 1 = 6 ! 1 ! 6 - 1 ! ∙ 0,328 1 ∙ 0,672 6 - 1 = 0,27

  • E para 2 pacotes:

P x = 2 = 6 ! 2 ! 6 - 2 ! ∙ 0,328 2 ∙ 0,672 6 - 2 = 0,33

P x = 4 = 6,5 %

Então:

P x ≤ 2 = P x = 0 + P x = 1 + P x = 2 = 0,692

P x ≤ 2 = 69,2 %

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

  1. P x ≥ 3 = 5,79 % ;
  2. P x ≤ 2 = 69,2 % .

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