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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 63

A e B estão envolvidos em um duelo. As regras do duelo rezam que eles devem sacar suas armas e atirar um no outro simultaneamente. Se um ou ambos são atingidos, o duelo é encerrado; se ambos os tiros erram os alvos, então repete-se o processo. Suponha que os resultados dos tiros sejam independentes e que cada tiro de A atinja B com probabilidade p A , e que cada tiro de B atinja A com probabilidade p B . Qual é

(a) a probabilidade de que A não seja atingido?

(b) a probabilidade de que ambos os duelistas sejam atingidos?

(c) a probabilidade de que o duelo termine após a n-ésima rodada de tiros?

(d) a probabilidade condicional de que o duelo termine após a n-ésima rodada de tiros dado que A não tenha sido atingido.

(e) a probabilidade condicional de que o duelo termine após a n-ésima rodada de tiros dado que ambos os duelistas tenham sido atingidos?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiro, vamos analisar os eventos, relacionados claramente aos personagens do duelo, com isso, temos os seguintes eventos

A - A   a t i n g e   B

B - B   a t i n g e   A

E i - A l g u é m   é   a t i n g i d o   n o   i - é s i m o   r o u n d ,   e   o   d u e l o   a c a b a

Agora, vamos pensar nas probabilidades,

P A = p A

P B = p B

Ambos atiram ao mesmo tempo, e seus acertos (eventos B e A) são independentes. Além disso, os eventos E i são independentes, pois ocorrem em rodadas diferentes.

Passo 2

A – A não é atingido

O processo termina quando um dos homens atira no outro, então se A não atirar, ele é quem acabou vencendo.

Dividindo essa situação em eventos mutuamente exclusivos - A vence na primeira rodada, A vence na segunda rodada, nós temos a seguinte probabilidade

P A   n ã o   é   a t i n g i d o =   ∑ n ∈ N P E 1 C E 2 C ∙ … ∙ E n C A ,     c o m   N = { 0,1 , 2 , … }

Como esses eventos acontecem em rodadas diferentes, são todos independentes. Então a probabilidade de uma interseção é o produto de probabilidades:

P A   n ã o   é   a t i n g i d o = ∑ n ∈ N P E 1 C P E 2 C ∙ … ∙ P E n C P ( A ) ,     p a r a   c a d a   E i ,   i ∈ N

No caso do evento E i , nós temos que

E i = A ∪ B → P E i = P A ∪ B = P A + P B - P ( A B )

Como as probabilidades e os eventos são independentes, temos que

P A B = P A P ( B )

Com isso, nós temos que

P E I = p A + p B - p A p B

E consequentemente, o complementar da probabilidade P ( E i ) é igual a

P E i C = 1 - p A - p B + p A p B = ( 1 - p A ) ( 1 - p B )

Retornando a fórmula do somatório e substituindo P ( E i )

P A   n ã o   é   a t i n g i d o = ∑ n ∈ N 1 - p A 1 - p B n p A

Esta é uma série geométrica com coeficiente 1 - p A 1 - p B e usando a fórmula para a soma de série geométrica:

P A   n ã o   é   a i n t g i d o = p A 1 1 - 1 - p A ( 1 - p B ) = p A p A + p B - p A p B

Passo 3

B - ambos os duelistas sejam atingidos

Isso só pode acontecer na mesma rodada.

Este evento é uma união de eventos mutuamente exclusivos que isso acontece na rodada 1,2,3.... Assim sua probabilidade é:

P O s   d o i s   s ã o   a t i n g i d o s =   ∑ n ∈ N P E 1 C E 2 C   ∙ … ∙ E n C A B

Usando a independência de eventos nos diferentes rounds, e a independência de A e B é igual a

P O s   d o i s   s ã o   a t i n g i d o s = ∑ n ∈ N P E 1 C P E 2 C ∙ … ∙ P E n C P A P B

Como P E i C = 1 - p A 1 - p B ,     i ∈ N , substituindo isto, nós temos

P O s   d o i s   s ã o   a t i n g i d o s = ∑ n ∈ N 1 - p A 1 - p B n p A p B

Esta é a mesma série geométrica da letra a)

P O s   d o i s   s ã o   a t i n g i d o s = p A p B 1 1 - 1 - p A 1 - p B = p A p B p A + p B - p A p B

Passo 4

C - duelo terminar após a n-ésima rodada de tiros

Para que o duelo termine na n-ésima rodada, alguém tem que morrer na n-ésima rodada, e ninguém pode ser baleado em todas as rodadas anteriores, portanto a probabilidade solicitada é

P ( E 1 C ∙ E 2 C ∙ … ∙ E n )

Todos esses eventos são independentes, pois estão em rodadas diferentes

P E 1 C ∙ E 2 C ∙ … ∙ E n = P E 1 C P E 2 C ∙ … ∙ P ( E n )

Substituindo P E i = p a + p B - p A p B e P E i C = ( 1 - p A ) ( 1 - p B ) nesta fórmula

P E 1 C ∙ E 2 C ∙ … ∙ E n = 1 - p A 1 - p B n - 1 p A + p B - p A p B

Passo 5

D - duelo termine após a n-ésima rodada de tiros dado que A não tenha sido atingido.

A definição de probabilidade condicional é dada como

P F i m   d o   r o u n d   n A   n ã o   é   a t i n g i d o = P F i m   d o   r o u n d   n   e   A   n ã o   é   a t i n g i d o P A   n ã o   é   a t i n g i d o

Da letra a, nós temos que P A   n ã o   é   a t i n g i d o = p A p A + p B - p A p B , e o numerador é igual a::

P E 1 C E 2 C ∙ … ∙ A = P E 1 C P E 2 C ∙ … ∙ P A

Com isso, nós temos que

P E 1 C E 2 C ∙ … ∙ A = 1 - p A 1 - p B n - 1 p A

Resultando em:

P F i m   d o   r o u n d   n A   n ã o   é   a t i n g i d o = 1 - p A 1 - p B n - 1 p A p A p A + p B - p A p B

Com isso, nós temos que

P F i m   d o   r o u n d   n A   n ã o   é   a t i n g i d o = 1 - p A 1 - p B n - 1 ( p A   + p B - p A p B )

Passo 6

E - duelo terminar após a n-ésima rodada de tiros dado que ambos os duelistas tenham sido atingidos?

A definição de probabilidade condicional é dada por

P F i m   d o   r o u n d   n O s   d o i s   s ã o   a t i n g i d o s = P F i m   d o   r o u n d   n ,   O s   d o i s   s ã o   a t i n g i d o s P ( O s   d o i s   s ã o   a t i n g i d o s )

Da parte b), nós sabemos que P O s   d o i s   s ã o   a t i n g i d o s = p A p B p A + p B - p A p B , e o numerador é igual a

P E 1 C E 2 C ∙ … ∙ A B = 1 - p A 1 - p B n - 1 p A p B

Resultando em

P F i m   d o   r o u n d   n O s   d o i s   s ã o   a t i n g i d o s = 1 - p A 1 - p B n - 1 p A p B p A p B p A + p B - p A p B

Resultando em

P F i m   d o   r o u n d   n O s   d o i s   s ã o   a t i n g i d o s =   1 - p A 1 - p B n - 1 p A + p B - p A p B

Resposta

a )   p A p A + p B - p A p B

b )   p A p B p A + p B - p A p B

c )   1 - p A 1 - p B n - 1 p A + p B - p A p B

d )   1 - p A 1 - p B n - 1 ( p A   + p B - p A p B )

e )   1 - p A 1 - p B n - 1 p A + p B - p A p B

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