Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas de Autoteste e Exercícios - Ex. 27
Uma urna contém inicialmente 1 bola vermelha e 1 bola azul. Em cada rodada, uma bola é retirada aleatoriamente e substituída por duas outras bolas de mesma cor (por exemplo, se a bola vermelha é a primeira a ser escolhida, então haverá 2 bolas vermelhas e 1 bola azul na urna quando ocorrer a próxima seleção). Mostre por indução matemática que a probabilidade de que existam exatamente bolas vermelhas na urna após rodadas é de , .
Passo 1
E aí, povo, tudo belezinha?! Nessa questão ele quer que a gente use o princípio da indução pra mostrar essa probabilidade pedida. O princípio da indução consiste em provar que um enunciado é válido para todos os números naturais e consiste de dois passos:
1. Mostrar que o enunciado vale para n = 0, ou n = 1, dependendo da definição utilizada.
2. Mostrar que, se o enunciado vale para , então o mesmo enunciado vale para
Passo 2
Vamos chamar de o evento em que temos bolas vermelhas na urna após a n-ésima rodada, e a suposição é:
Vamos seguir o passo a passo do princípio da indução, para já sabemos que a expressão acima é válida. Vamos ver o que ocorre com . Onde J represente o evento em que há j bolas vermelhas na urna após a (n + 1)-ésima rodada.
Daí:
Passo 3
Como há n + 2 bolas na urna após a n-ésima rodada, tem-se que é a probabilidade de que uma bola vermelha seja escolhida quando j - 1 das n + 2 bolas na urna são vermelhas, e é a probabilidade de que uma bola vermelha não seja escolhida quando j das n + 2 bolas na urna são vermelhas.
Assim, finalmente podemos escrever:
Assim, nossa sentença agora pode ser provada para n+1 substituindo as expressões acima na expressão para , já encontrada anteriormente.
Chatinha essa né, mas nada que não dê pra noixx. 😊
Matamos e até a próxima!!!
Resposta
Demonstração