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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 22

Seja X a proporção de tempo distribuído que um aluno selecionado aleatoriamente gasta trabalhando em um teste de aptidão. Suponha que a fdp de X seja

f ( x ; θ ) = { ( θ + 1 ) x θ   0 ≤ x ≤ 1   0     c a s o   c o n t r á r i o    

onde - 1 < θ . Uma amostra aleatória de 10 alunos produz dados x 1 = 0,92 , x 2 = 0,79 , x 3 = 0,90 , x 4 = 0,65 , x 5 = 0,86 , x 6 = 0,47 , x 7 = 0,73 , x 8 = 0,97 , x 9 = 0,94 , x 10 = 0,77 .

a. Use o método dos momentos para obter um estimador de θ e calcule a estimativa para esses dados.

b. Obtenha o estimador de máxima verossimilhança de θ e calcule a estimativa dos dados fornecidos.

Passo 1

Use o método dos momentos para obter um estimador de θ e calcule a estimativa para esses dados.

a. E ( X ) = ∫ 0 1   x ( θ + 1 ) x θ d x = θ + 1 θ + 2 = 1 - 1 θ + 2

então o estimador de momento θ ˆ   é a solução para X _ = 1 - 1 θ ^ + 2 ,   p r o d u z i n d o   θ ^ = 1 1 - X _ - 2 .

Portanto x _ = . 80 , θ ^ = 5 - 2 = 3

Passo 2

Obtenha o estimador de máxima verossimilhança de θ e calcule a estimativa dos dados fornecidos.

b. f x 1 , … , x n ; θ = ( θ + 1 ) n x 1 x 2 … x n θ ,

então a probabilidade logarítmica é

n l n ⁡ ( θ + 1 ) + θ ∑ l n ⁡ x i .

Tomando d/dθ e igualando a 0 produz n θ + 1 = - ∑ l n ⁡ x i ,   s o   θ ^ = - n ∑ l n ⁡ X i - 1 .

Tomando l n ⁡ x i para cada x i dado resulta em última instância θ ˆ = 3,12.

Resposta

a . 3

b. θ ˆ = 3,12.

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