Enunciado
Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 42
Estimou-se que, entre 1945 e 1971, aproximadamente 2 milhões de crianças nasceram de mães tratadas com dietilestilbestrol (DES), um estrogênio não-esteróide recomendado para manutenção da gestação. A FDA proibiu esse medicamento em 1971, pois a pesquisa revelou uma ligação com a incidência de câncer cervical. O artigo "Effects of Prenatal Exposure to Diethylstilbestrol (DES) on Hemispheric Laterality and Spatial Ability in Human Males" (Hormones and Behavior, 1992, p. 62-75) discutiu um estudo em que 10 homens expostos ao DES e seus irmãos não-expostos se submeteram a vários testes. Esses são os dados resumidos sobre os resultados de um teste de habilidade espacial: x 12,6 (expostos), y 13,7, e o erro-padrão da diferença média 0,5. Faça o teste no nível 0,05 para ver se a exposição está associada à habilidade espacial reduzida, obtendo-se o valor P.
Passo 1
Temos que n=10n=10 é o número de pares em nossa amostra, e que são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média e desvio padrão , ambos desconhecidos (estes representam os resultados de um teste de habilidade espacial para homens expostos ao DES).
Cada tem seu valor emparelhado , então são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média e desvio padrão ambos desconhecidos (estes representam os resultados de um teste de habilidade espacial para aqueles não expostos ao DES).
Deixe ser as diferenças pareadas calculadas ( para todo ), sua média e seu desvio padrão. Seja também seja a média populacional de diferenças pareadas (exposta menos não exposta).
Queremos testar:
no nível de significância
Assumindo a normalidade das diferenças pareadas, a estatística de teste usada para testar as hipóteses acima é
que, sob a hipótese nula, segue a distribuição t com graus de liberdade.
Primeiro encontramos que
Também nos é dado que , que na verdade é .
Agora, substituindo todos os valores junto com (este é o valor nulo, ou seja, o valor assumido na hipótese nula) produz o valor observado da estatística de teste:
Passo 2
Como o teste é de cauda inferior, então o valor P desse teste é
onde t denota o valor observado da estatística de teste.
A igualdade final é verdadeira por causa da propriedade de simetria da distribuição t, então , para qualquer número x.
Para encontrar aproximadamente este valor de PP, consultamos a tabela A.5 nas Tabelas do Apêndice. Na linha rotulada (esses são os graus de liberdade), encontramos os dois valores mais próximos de |t|=2.22 e , e é entre dois valores, o que significa que é entre 0.025 e 0.05, então podemos concluir que
Para encontrar o valor exato de P, podemos usar algum software. Uma linha
pt(-2,2, df=9)
no software estatístico R relatará o valor P, que acaba sendo
Como o valor PP deste teste é menor que nosso nível de significância , então podemos rejeitar a hipótese nula a favor da hipótese alternativa, e concluímos que existe uma associação entre a exposição ao DES e a redução da habilidade espacial
Resposta
O valor da estatística de teste é T=-2.2 com o valor P de 0.0277, então podemos rejeitar a hipótese nula