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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 19

Um estudante dirige até a escola e encontra um semáforo. Esse semáforo fica verde por 35 segundos, amarelo por cinco segundos e vermelho por 60 segundos. Assuma que o estudante vá para a escola todos os dias da semana entre 8h e 8h30. Sejam X   1 o número de vezes que ele encontra o farol verde,   X 2 , o número de vezes que ele encontra o farol amarelo e X 3 o número de vezes que ele encontra o farol vermelho. Determine a distribuição conjunta de X   1 ,   X 2   e   X 3 .

Passo 1

Vamos resolver mais um exercício de probabilidade?

Vamos relembrar do enunciado que:

  X 1 = n ú m e r o   d e   v e z e s   q u e   s e   e n c o n t r a   o   s i n a l   v e r d e

  X 2   = n ú m e r o   d e   v e z e s   q u e   s e   e n c o n t r a   o   s i n a l   a m a r e l o  

  X 3 = n ú m e r o   d e   v e z e s   q u e   s e   e n c o n t r a   o   s i n a l   v e r m e l h o

Além disso, também temos as probabilidades de encontrar os sinais verde, amarelo ou vermelho, são elas:

P v e r d e = 0.35

P a m a r e l o = 0.05

P v e r m e l h o = 0.60

Passo 2

Agora que temos todos os parâmetros definidos, vamos ao que o exercício pede, que no caso é a distribuição conjunta de X   1 ,   X 2   e   X 3 .

Ou seja, como era de se esperar, este é um experimento multinominal.

Para trabalharmos com uma distribuição binomial, temos:

b x ; n ; p = n x p x q n - x

Que é o caso onde temos p + q = 1 ou seja, ou ocorre p , ou ocorre q .

Como foi visto numa multinominal, teremos p + q + r = 1   ( p o r   e x e m p l o ) , onde p , q   e   r são as probabilidades associadas a três eventos.

Parece que as coisas complicam, mas em suma, nem tanto, a lógica é parecida. Teremos algo semelhante a distribuição binomial com a diferença de incluir um outro possível evento nas contas.

Passo 3

Desse modo, para uma distribuição multinominal teremos a seguinte forma

f x 1 , x 2 , x 3 = n x 1 , x 2 , x 3 0.35 x 1 0.05 x 2 0.6 x 3

Que é até semelhante ao obtido numa distribuição binomial, só com umas correções por estarmos trabalhando com uma distribuição multinominal

Resposta

f x 1 , x 2 , x 3 = n x 1 , x 2 , x 3 0.35 x 1 0.05 x 2 0.6 x 3

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