Enunciado
Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 55
Uma norma que exige a instalação de um detector de fumaça em todas as casas construídas anteriormente está em vigor há um ano em certa cidade. O corpo de bombeiros está preocupado porque muitas casas continuam sem detectores. Seja p proporção real de casas que possuem detectores e suponha que uma amostra aleatória de 25 lares seja inspecionada. Se a amostra indica fortemente que pouco menos de 80% de todas as casas possuem detector, o corpo de bombeiros fará uma campanha por um programa de inspeção obrigatória. Por causa do custo do programa, o corpo de bombeiros prefere não pedir essas inspeções a menos que a amostra renda evidências fortes que comprovem sua necessidade. Seja X o número de casas com detectores entre as 25 da amostra. Considere rejeitar a hipótese de p 0,8 se x 15. a. Qual é a probabilidade de a hipótese ser rejeitada se o valor real de p for 0,8? b. Qual é a probabilidade de não rejeitar a hipótese quando p 0,7? Quando p 0,6? c. Como as “probabilidades de erro” das partes (a) e (b) mudam se o valor 15 na regra de decisão for alterado para 14
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
.
Sabemos que menos de 80% das casas possuem detector. No entanto, rejeitamos a reivindicação em alguns casos (dados no exercício).
Podemos notar que X tem Distribuição Binomial com parâmetros n=25 e p, onde p é realmente desconhecido. Portanto
- Calculamos tudo da mesma forma, apenas em vez de "15" temos "14", portanto, o seguinte é verdadeiro:
Sabemos que rejeitamos a afirmação quando x≤15, então precisamos calcular a probabilidade de que X≤15 quando p=0.8, portanto
Função de densidade cumulativa cdf da variável aleatória binomial X com parâmetros n e p é
Passo 2
Sabemos que rejeitamos a afirmação quando x≤15, então precisamos calcular a probabilidade de X>15 quando p=0.7, portanto
Da mesma forma, quando p=0.6, temos
Para p=0.8
onde, como mencionamos, a probabilidade é calculada da mesma forma que em (a)! Podemos notar que 0.006
Para p = 0.7
que é maior do que tínhamos antes – 0.881. Além disso, para p=0.6 o seguinte é verdadeiro
onde podemos notar que . Portanto, ambas as probabilidades são maiores do que antes.
Mudando o 15 para 14, é mais provável que não rejeitemos a afirmação verdadeira quando ela é realmente falsa − quando p é realmente menor que 0.8. Além disso, é menos provável que rejeitemos a afirmação quando ela é realmente verdadeira (quando pp é maior ou igual a 0.8).