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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 53

Suponha que 90% de todas as pilhas de certo fabricante tenham voltagens aceitáveis. Um determinado tipo de lanterna necessita de duas pilhas tipo D, e ela só funciona se as duas pilhas tiverem voltagem aceitável. Entre 10 lanternas selecionadas aleatoriamente, qual é a probabilidade de pelo menos nove funcionarem? Que hipótese você fez no decorrer da resposta à pergunta proposta?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Definindo

X =   o   n ú m e r o   d e   l a n t e r n a s   d e   t r a b a l h o .

Há 0.9 probabilidade de que uma bateria tenha tensão aceitável, o que indica que a probabilidade do evento

A = b a t e r i a s   c o m   v o l t a g e m   a c e i t a v e l

é 0,9. A lanterna funciona apenas quando ambas as baterias funcionam, então o seguinte é verdadeiro

p = P A   ∩ B = P A ∙ P B

Existem 10 lanternas selecionadas aleatoriamente, então n=10. Por fim, a variável aleatória X possui Distribuição Binomial com parâmetros n=10 e p=0.81. Podemos escrevê-lo como

X   ~ B i n ( 25 ,   0.81 )

Passo 2

Teorema:

b x ; n , p =   n x p x 1 - p n - x ,   x = 0 ,   1 ,   2 ,   … ,   n 0

O seguinte é verdadeiro

P     X   ≥ 9 =   P   X = 9 + P   X = 10

= b 9 ; 10 ,   0.81 + b 9 ; 10 ,   0.81

=   10 9 0.81 9 1 - 0.81 10 - 9 + 10 10 0.81 10 1 - 0.81 10 - 10

= 0.285 + 0.122 = 0.407 ;

Usamos a suposição de que as tensões das baterias são independentes.

Resposta

P     X   ≥ 9 = 0.407 ;

Suposição: as tensões das baterias são independentes

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