Enunciado

Um estudo pretende avaliar o efeito da obesidade na pressão sanguínea. Para tanto, foram avaliados os pesos para 6 indivíduos e construída a variável X representando a razão entre os pesos real e ideal. Estudos indicam que um modelo de regressão linear simples é adequado para essa situação. Os dados obtidos foram:

  1. Construa a variável auxiliar d = x - x -
  2. Ajuste a reta y = α + β d .
  3. Qual a sua interpretação para α na reta obtida em (b) ?
  4. Qual a pressão sistólica esperada para indivíduos com razão peso real/peso ideal igual a 1,25??

Passo 1

Eu indo matar mais uma questão de estatística:

É de regressão linear:

Vamos lá então; a questão pede que realizemos o teste para ver se a razão entre o peso real e o ideal estabelece uma relação linear com a pressão sistólica; tendo:

X = r a z ã o   e n t r e   o s   p e s o s .

E

Y = p r e s s ã o   s i s t ó l i c a .

Queremos saber se essa reta é verdade:

y ^ i = α ^ + β ^ d i  

Onde α ^ e β ^ são estimadores para os coeficientes linear e angular respectivamente.

Perceba que tudo o que queremos é saber se esse β realmente é zero ou não, se ele for diferente de zero então existe uma relação linear; em outras palavras:

H 0 : β = 0       c o n t r a         H 1 : β ≠ 0

Como fazeremos isso mesmo??? Utilizando a aproximação pela distribuição F   d e   S n e d e c o r :

F = Q M r e g Q M r e s ~ F p - 1 ; n - p

Os quadrados médios são calculados a partir das somas dos quadrado, veremos daqui a pouquinho, juro. Já esse p é o número de variáveis, portanto p = 2 e n = 6 é o tamanho das amostras.

Bom, o enunciado definiu d i da seguinte forma:

d i = x - x -

E os estimadores podem ser obtidos assim:

β ^ = n d - y - - ∑ i = 1 n d i y i n d - 2 - ∑ i = 1 n d i 2

E

α ^ = y - - β ^ d -  

Passo 2

Então, vamos começar encontrando essa galera aí:

x - = ∑ i = 1 6 x i n = 8,88 6 ≅ 1,48

Agora, tem um detalhe muitíssimo importante!! Percebeu que a gente não vai trabalhar com x para realizar a regressão, mas sim com d . Da uma olhada na tabela:

Lembrando que d i = x i - x - .

Com isso, podemos tirar alguns dados que vamos precisar para estimar a reta e realizar a regressão:

d - = 0

∑ i = 1 6 d i 2 = 0,1544

e

∑ i = 1 6 d i y i = - 0,25 129 + … + ( 0,08 ) ( 134 ) = 2,91

E portanto:

β ^ = ∑ i = 1 n d i y i ∑ i = 1 n d i 2 ≅ 2,91 0,1544 ≅ 18,85

α ^ = y - = ∑ i = 1 6 y i n ≅ 133,5

Portanto, temos a seguinte estimação para a reta:

y ^ i = 133,5 + 18,85 d i

Se você se lembrar, devemos montar uma tabela mais ou menos assim:

Eu sei que assusta um bocado, mas não é nenhum bixo de sete cabeças, juro!

Da uma olhada com carinho na tabela, vamos precisar de todos os y ^ i ; encontrando eles a partir da reta que estimamos. Então teremos que fazer o seguinte:

y ^ 1 = 133,5 + 18,85 - 0,25 ≅ 128,79

Até..

y ^ 6 = 133,50 + 18,85 0,08 ≅ 135,01

Sacou a parada? Juntei tudo numa tabelinha, olha só:

Ta junto comigo?? Seguimos...

S Q r e g = 128,79 - 133,5 2 + … + 135,01 - 133,50 2 ≅ 54,86

S Q r e s = 129 - 128,79 2 + … + 134 - 135,01 2 ≅ 14,65

E

S Q t o t a l = 54,86 + 14,65 ≅ 69,51

Passo 3

Tamo quase lá...

Em posse das Soma de Quadrados(SQ), podemos encontrar os Quadrados médios(QM); bate o olho la na tabela que estamos usando como modelo para fazer a nossa regressão:

Q M r e g = 54,86 2 - 1 = 54,86

Q M r e s = 14,65 6 - 2 ≅ 3,66

E

Q M t o t a l = 69,51 6 - 1 ≅ 13,90

Em posse dos quadrados médios, podemos calcular o f 0 :

f 0 = 54,86 3,66 ≅ 15

Finalmente completamos nossa tabelinha:

Beleza, cabou então?? Ainda não pequeno gafanhoto... Precisamos analisar aquele f 0 = 15 para tomar uma decisão.

Lembra que fazemos isso construindo uma região crítica?? Então adotando α = 5 % :

R C = f 0 ∈ R f 0 > f 0,05 ; 2 - 1 ; 6 - 2

Portanto, só precisamos ir na tabela de distribuição F a 5%, e buscar na coluna de 2 - 1 = 1 grau de liberdade, e na linha de 6 - 2 = 4 graus de liberdade:

Chegamos na seguinte região crítica:

R C = f 0 > 7,71

Portanto, como f 0 = 15 pertence à região crítica, devemos rejeitar a hipótese nula que diz que β = 0 .

Isso da evidências de que realmente há uma relação linear entre a pressão sistólica e a razão entre os pesos.

Resposta

Portanto, concluímos que a pressão sistólica estabelece uma relação linear com a razão entre os pesos real e ideal.

(c) o α na reta, representa o valor esperado de pressão sistólica quando a razão entre os pesos for 1,48 ; perceba:

y = α + β d

Como d = x - x - , e x - = 1,48   então

y = α quando x = 1,48 .

(d)O exercício pede ainda para encontrarmos a pressão sistólica quando a razão entre os pesos for 1,25. Bem sussa:

y ^ i = 133,50 + 18,85 1,25 - 1,48 ≅ 129,16

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