As etapas nesse exercício conduzem a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória e Erlang X, com parâmetros λ e r ,f ( x ) = λ r x r - 1 e λ x / ( r - 1 ) ! ,x0 e r = 1,2 , . . . Use a distribuição de Poisson para expressar P ( Xx ) . Use o resultado do item a para determinar a função de distribuição cumulativo de X.Diferencia a função de distribuição cumulativa do item B e simplifique para obter a função densidade de probabilidade de X.

P ( Xx ) = ∑ k = 0 r - 1 ( λ x ) k e - λ x k ! P ( X ≤ x ) = 1 - e - λ x ∑ k = 0 r - 1 ( λ x ) k k ! f ( x ) = λ r x r - 1 e - λ x ( r - 1 ) !

Enunciado

A fórmula da Probabilidade de Poisson é:

Se X denota o tempo até a r-ésima falha e N é o número de falhas dentro de unidades de tempo , então N tem uma distribuição de Poisson com média:

com sendo o número médio de falhas por unidade de tempo.

Letra a:

A probabilidade é então a mesma que a probabilidade de que haja menos que r falhas em x unidades de tempo:

Letra b:

Vamos usar agora a regra do complemento:

Letra c:

Vamos diferenciar em função de x:

Elimine os termos que ocorrem em ambas as somas (o que é possível devido a diferença e mesmo fator ):

Simplifique e reescreva a expressão:

Notamos que esta é a função de densidade de probabilidade de um Erlang aleatório variável X.