Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 151

As etapas nesse exercício conduzem a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória e Erlang X, com parâmetros λ e r ,   f ( x ) = λ r x r - 1 e λ x / ( r - 1 ) ! ,   x > 0 e r = 1,2 , . . .

  1. Use a distribuição de Poisson para expressar P ( X > x ) .
  2. Use o resultado do item a para determinar a função de distribuição cumulativo de X.
  3. Diferencia a função de distribuição cumulativa do item B e simplifique para obter a função densidade de probabilidade de X.

Passo 1

A fórmula da Probabilidade de Poisson é:

P ( X = k ) = λ k e - λ k !

Se X denota o tempo até a r-ésima falha e N é o número de falhas dentro de unidades de tempo x , então N tem uma distribuição de Poisson com média:

μ = λ x

com λ sendo o número médio de falhas por unidade de tempo.

Passo 2

Letra a:

A probabilidade P ( X > x ) é então a mesma que a probabilidade de que haja menos que r falhas em x unidades de tempo:

P ( X > x ) = P ( N < r ) = P ( N ≤ r - 1 ) = ∑ k = 0 r - 1 P ( X = k ) = ∑ k = 0 r - 1 ( λ x ) k e - λ x k ! :

Passo 3

Letra b:

Vamos usar agora a regra do complemento:

P ( X ≤ x ) = 1 - P ( X > x ) = 1 - ∑ k - 0 r - 1 ( λ x ) k e - λ x k ! = 1 - e - λ x ∑ k = 0 r - 1 ( λ x ) k k !

Passo 4

Letra c:

Vamos diferenciar em função de x:

f ( x ) = d d x P ( X ≤ x ) = d d x 1 - e - λ x ∑ k = 0 r - 1 ( λ x ) k k !

= d d x 1 - e - λ x ∑ k = 0 r - 1 λ k x k k !

= λ e - λ x ∑ k = 0 r - 1 λ k x k k ! - e - λ x ∑ k = 1 r - 1 k λ k x k - 1 k !

= e - λ x ∑ k = 0 r - 1 λ k + 1 x k k ! - e - λ x ∑ k = 1 r - 1 λ k x k - 1 ( k - 1 ) !

= e - λ x ∑ k = 0 r - 1 λ k + 1 x k k ! - e - λ x ∑ k = 0 r - 2 λ k + 1 x k k !

Elimine os termos que ocorrem em ambas as somas (o que é possível devido a diferença e mesmo fator e - λ x ):

f ( x ) = e - λ x λ ( r - 1 ) + 1 x r - 1 ( r - 1 ) !

Simplifique e reescreva a expressão:

f ( x ) = λ r x r - 1 e - λ x ( r - 1 ) !

Notamos que esta é a função de densidade de probabilidade de um Erlang aleatório variável X.

Resposta

  1. P ( X > x ) = ∑ k = 0 r - 1 ( λ x ) k e - λ x k !
  2. P ( X ≤ x ) = 1 - e - λ x ∑ k = 0 r - 1 ( λ x ) k k !
  3. f ( x ) = λ r x r - 1 e - λ x ( r - 1 ) !
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Certos amortecedores fabricados por uma empresa têm uma vida média de 800 dias e desvio padrão de 60 dias. Determinar a probabilidade de uma amostra aleatória de 16 amortecedores, retirados do grupo,
Seja X uma variável aleatória inteira não-negativa com função geradora de momentos ϕ X t = E ( e t X ) , finita para todo t. seja x 0 um número inteiro positivo. Mostre que: P X ≥ x 0 ≤ ϕ X t e t x 0
Considere X como no exercício. Mostre que P X ≥ 2 λ ≤ e 4 λ
Seja X uma variável aleatória tal que P X ≥ 0 = 1 e P X ≥ 14 = 1 7 . Mostre que E X ≥ 2 .
Suponha que X tem distribuição de Poisson de parâmetro λ . Use a desigualdade de tchebyschev para verificar que:a) P X ≤ λ 2 ≤ 4 λ ; b) P X ≥ 2 λ ≤ 1 λ .