Enunciado

Suponha que X tem distribuição de Poisson de parâmetro λ . Use a desigualdade de tchebyschev para verificar que:

a) P X ≤ λ 2 ≤ 4 λ ;

b) P X ≥ 2 λ ≤ 1 λ .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de probabilidade do Dantas ele pede para supor que X tem distribuição de Poisson de parâmetro λ . Use a desigualdade de tchebyschev para verificar que:

a) P X ≤ λ 2 ≤ 4 λ ;

b) P X ≥ 2 λ ≤ 1 λ .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Galera nessa questão só precisamos de uma coisa, a distribuição de Poisson, ela é fundamental pois com ela e as variáveis determinada nas opções podemos resolver o que nos pede, ela é representada por,

P X = x = ∑ i = 1 n n x . p x . 1 - p n - x

Ficando na letra (a) para,

P X ≤ λ 2 ≤ 4 λ

Temos,

P X ≤ λ 2 = ∑ i = 1 n n λ 2 . p λ 2 . 1 - p n - λ 2 ≤ 4 λ

Logo, utilizando o fato de 1 - λ 2 temos,

1 - λ 2 ≤ 4 λ

1 ≤ 4 λ + 1 λ → 1 ≤ 5 λ

Ficando,

λ ≤ 5

Já na letra (b) para,

P X ≥ 2 λ ≤ 1 λ

Temos,

P X ≤ 2 λ = ∑ i = 1 n n 2 λ . p 2 λ . 1 - p 2 λ ≤ 1 λ

Utilizando o fator 1 - 2 λ , temos

1 - 2 λ ≤ 1 λ

1 ≤ 1 λ + 2 λ

Ficando,

λ ≤ 1 + 2 λ → 1 ≤ λ

λ ≥ 1

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) λ ≤ 5

b) λ ≥ 1

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