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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 3

Seja X uma variável aleatória inteira não-negativa com função geradora de momentos ϕ X t = E ( e t X ) , finita para todo t. seja x 0 um número inteiro positivo. Mostre que:

P X ≥ x 0 ≤ ϕ X t e t x 0 ,   t > 0   ( d e s i g u a l d a d e   d e   c h e r n o f f )

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de probabilidade do Dantas Seja X uma variável aleatória inteira não-negativa com função geradora de momentos ϕ X t = E ( e t X ) , finita para todo t. seja x 0 um número inteiro positivo. Mostre que:

P X ≥ x 0 ≤ ϕ X t e t x 0 ,   t > 0   ( d e s i g u a l d a d e   d e   c h e r n o f f )

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha nessa questão ele pede para mostrar que,

ϕ X e t x 0 ,   t > 0

Utilizando a desigualdade de chernoff.

Sendo que foi dado a variável aleatória não negativa representada por,

ϕ X t = E ( e t x )

Ficando,

P X - E X ≥ Ɛ ] ≤ V a r   x e 2

Com V a r   ( x ) valendo,

v a r x = ∫ - ∞ ∞ x - E x 2   f x d x =   ∫ ( X x - E x ≥ t ] x - E x 2 f x d x

Ficando,

v a r x = e 2 P [ x - E x ≥ Ɛ ]

Logo,

P x - E x ≥ Ɛ = e 2 P x - E x ≥ Ɛ e 2

Ficando,

ϕ X e t x 0 ,   t > 0

Que pode ser apresentada como,

P x - E x ≥ Ɛ = e 2 [ ϕ x t ] e t 0

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

P x - E x ≥ Ɛ = e 2 [ ϕ x t ] e t 0

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