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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 38

No Exercício 5.32, quantos mísseis com defeito

podemos esperar serem incluídos entre os quatro selecionados? Use o teorema de Chebyshev para descrever

a variabilidade do número de mísseis defeituosos incluí­

dos quando quatro são selecionados de diversos lotes de

tamanho 10 contendo três mísseis com defeito.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Total de mísseis no lote = 10 Seja X a variável aleatória que denota o número de mísseis defeituosos entre 4 mísseis selecionados aleatoriamente do lote

∴ X tem uma distribuição hipergeométrica com parâmetros N = 10 , n = 4 e k = 3 e p.m.f de X é dado por

h ( x ; N = 10 , n = 4 , k = 3 ) = k x N - k n - x N n   onde   m   { 0 , n - ( N - k ) } ≤ x ≤ m   { n , k }  i.e.,  0 ≤ x ≤ 4 μ = E ( X ) = n k N   = 4 × 3 10   = 1.2

∴ podemos esperar 1 míssil defeituoso incluído entre os 4, uma vez que o valor esperado de X é, 1.2 ◻ 1

σ 2 = V a r ⁡ ( X )   = N - n N - 1 ⋅ n ⋅ k N 1 - k N   = 10 - 4 10 - 1 ⋅ 4 ⋅ 3 10 1 - 3 10   = 6 9 ⋅ 4 ⋅ 3 10 7 10   = 0.56

Passo 2

∴ Do teorema de Chebyshev obtemos para P ( μ - t ≤ X ≤ μ + t ) ≥ 1 - σ 2 t 2   todos t > 0 i.e.P , ( 1.2 - t ≤ X ≤ 1.2 + t ) ≥ 1 - 0.56 t 2   para todo t > 0

Colocando t = 2 σ no teorema de Chebyshev, obtemos

P ( μ - 2 σ ≤ X ≤ μ + 2 σ ) ≥ 3 4 = 0.75

Ou seja, P ( 1.2 - 2 0.56 ≤ X ≤ 1.2 + 2 0.56 ) ≥ 3 4 = 0.75 portanto, P ( - 0.297 ≤ X ≤ 2.697 ) ≥ 0.75

usando o teorema de Chebyshave, pode-se dizer que a probabilidade de X se deitar no intervalo [ μ - 2 σ , μ + 2 σ ] = [ - 0.297,2.697 ] ≈ [ 0,2.697 ] é, pelo menos, 0.75

Resposta

Resposta nos passos.

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