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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas de Autoteste e Exercícios - Ex. 29

Existem n tipos diferentes de cupons de desconto. Cada cupom obtido é, independentemente dos tipos já recolhidos, do tipo i com probabilidade ∑ i = 1 n p i   =   1 .

(a) Se n cupons são recolhidos, qual é a probabilidade de que se consiga um de cada tipo?

(b) Suponha agora que p 1 = p 2 = … = p n = 1 n . Seja E i , o evento em que não há cupons de tipo i entre os n cupons selecionados. Aplique em P ( U i E i ) a identidade inclusão-exclusão para a probabilidade da união dos eventos para demonstrar a identidade

n ! = ∑ k = 0 n - 1 k n k n - k n

Passo 1

Faala galera do mal, tudo blz com vocês?! Já vou avisando que essa questãozinha aí é sinistra em...

Vamos com calma obedecendo o passo-a-passo que o livro manda, que assim vamos conseguir passar mais essa fase.

a) Para qualquer permutação { i 1 , i 2 , … , i n } de um conjunto de n números { 1,23 , … , n } a probabilidade de que os tipos sucessivos coletados sejam do tipo { i 1 , i 2 , … , i n } é igual a P i 1 , P i 2 , P i 3 , … , P i n = ∏ i = 1 n P i . Consequentemente a probabilidade desejada é igual a:

P = n ! ⋅ ∏ i = 1 n P i

Passo 2

b) Agora, vamos verificar que, para i 1 , i 2 , … , i k todos distintos.

P E i 1 , E i 2 , … , E i k = n - k n n

O que se obtém porque não há cupons de tipos i 1 , i 2 , … , i k , quando cada uma das n seleções independentes envolve um dos demais n - k tipos. Obtém-se agora pela identidade inclusão-exclusão que:

P ⋃ i = 1 n E i = ∑ k = 1 n - 1 k + 1 n k n - k n n

Passo 3

Como 1 - P ⋃ i = 1 n E i é a probabilidade de que um de cada tipo seja obtido, pela expressão inicialmente deduzida, tem-se que P ⋃ i = 1 n E i = n ! n n . Substituindo esse resultado na equação anterior, obtemos:

1 - n ! n n = ∑ k = 1 n - 1 k + 1 n k n - k n n

n n - n ! = n n ∑ k = 1 n - 1 k + 1 n k n - k n n

n ! = n n - n n ∑ k = 1 n - 1 k + 1 n k n - k n n = n n 1 - ∑ k = 1 n - 1 k + 1 n k n - k n n

n ! = ∑ k = 0 n - 1 k n k n - k n

Resposta

demonstração

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