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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 13

Suponha que um baralho comum de 52 cartas (que contém 4 ases) seja dividido aleatoriamente em 4 mãos de 13 cartas cada. Estamos interessados em determinar p, a probabilidade de que cada mão tenha um ás. Seja E, o evento em que a i-ésima mão tem exatamente 1 ás. Determine p = P ( E 1 , E 2 , E 3 , E 4 ) usando a regra da multiplicação.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos resolver mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!

Vamos lá, essa questão tem os eventos bem definidos, que são:

E 1 = A   m ã o   u m   t e m   e x a t a m e n t e   u m   á s

E 2   = A   m ã o   d o i s   t e m   u m   á s

E 3 = A   m ã o   t r ê s   t e m   u m   á s

E 4 = A   m ã o   q u a t r o   t e m   u m   à s

Como o problema nos pede para usar a regra da multiplicação, vamos entender o que diabos é regra da multiplicação, ok, a regra da multiplicação na probabilidade tem o seguinte enunciado: Para cada n ∈ N e eventos E 1 ,   E 2 ,   E 3 … E n , temos que

P E 1 E 2 … E n = P E 1 ∙ P E 2 E 1 ∙ P E 3 E 1 E 2 ∙ … ∙ P ( E n | E 1 E 2 … E n - 1 )

Para o nosso enunciado, vamos precisar calcular 4 probabilidades:

p = P E 1 E 2 E 3 E 4 = P E 1 ∙ P E 2 E 1 ∙ P E 3 E 1 E 2 ∙ P ( E 4 | E 1 E 2 E 3 )

Entendido isto, agora vamos justamente calcular essas probabilidades

Passo 2

Iniciando pela probabilidade do evento P E 1 , temos que o número de mãos que têm exatamente um ás é o número de maneiras de escolher um ás multiplicado pelo número de maneiras de escolher as 12 cartas restantes de 48 não ases. Em matematiquês, isso é igual a

P E 1 = 4 1 48 12 52 13

Já no evento P ( E 2 | E 1 ) , se já escolhemos precisamente um ás e 12 outras cartas na mão 1, há 39 13 , logo seriam mãos igualmente prováveis. O número de mãos diferentes de um ás para a mão 2 é o número de maneiras de escolher entre 3 restantes multiplicado pelo número de maneiras de escolher as 12 cartas restantes de 36, traduzindo isso tudo, temos que

P E 2 E 1 = 3 1 36 12 39 13

O raciocínio segue para a probabilidade P ( E 3 | E 1 E 2 ) , que fica igual a

P E 3 E 1 E 2 = 2 1 24 12 26 13

E por último, temos que

P E 4 E 3 E 2 E 1 = 1 1 12 12 13 13

Passo 3

Logo, a probabilidade p é igual a

p = P E 1 E 2 E 3 E 4 = P E 1 ∙ P E 2 E 1 ∙ P E 3 E 1 E 2 ∙ P ( E 4 | E 1 E 2 E 3 )

Substituindo os valores, nós temos que

p =   4 1 48 12 52 13 ∙ 3 1 36 12 39 13 ∙ 2 1 24 12 26 13 ∙ 1

Com isso, nós temos que

p = 4 ! ∙ 48 ! 12 ! 4 52 ! 13 ! 4

Desenvolvendo estes termos, nós obtemos o seguinte resultado

p = 4 ! ∙ 13 4 52 ∙ 51 ∙ 50 ∙ 49

Com isso, a probabilidade p é igual a

p ≈ 0,1055

Logo a probabilidade p é aproximadamente 0,1055 .

Resposta

p ≈ 0,1055

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