Enunciado

Uma urna contém inicialmente 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Cada vez que uma bola é selecionada, sua cor é anotada e ela é recolocada na urna juntamente com 2 outras bolas da mesma cor. Calcule a probabilidade de que

(a) as primeiras 2 bolas selecionadas sejam pretas e as 2 bolas seguintes sejam brancas;

(b) das 4 primeiras bolas selecionadas, exatamente 2 sejam pretas.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas, e as regras são: tire bolas consecutivamente, cada vez que uma bola for retirada, substitua-a por 3 bolas da mesma cor

Com isso, vamos identificar os eventos

W 1 -   c a s o   a   p r i m e i r a   b o l a   r e t i r a d a   s e j a   b r a n c a .

W 2 -   c a s o   a   s e g u n d a   b o l a   r e t i r a d a   s e j a   b r a n c a

W 3 -   c a s o   a   t e r c e i r a   b o l a   r e t i r a d a   s e j a   b r a n c a

W 4 - c a s o   a   q u a r t a   b o l a   r e t i r a d a   s e j a   b r a n c a

Vamos usar a regra da multiplicação para este caso, para todo n ∈ N e eventos E 1 , E 2 , E 3 , … , E n

P E 1 E 2 … E n = P E 1 ∙ P E 2 E 1 ∙ P E 3 E 1 E 2 ∙ … ∙ P ( E n | E 1 E 2 … E n - 1 )

Nós temos que calcular na letra a, a seguinte probabilidade P ( W 1 c W 2 c W 3 c W 4 c )

Passo 2

A - Podemos sortear a primeira bola preta de 7 de 12 maneiras, logo

P W 1 c = 7 12

Se a primeira bola retirada for preta, o número de bolas é maior em 2, e também o

número de bolas pretas, então a segunda bola preta pode ser qualquer uma das 9 de 14 bolas

P W 2 c W 1 c = 9 14

Se já escolhemos duas bolas pretas, o número de bolas é aumentado em 4 e o

número de bolas pretas é aumentado em 4 desde a configuração inicial. ainda tem 5 brancos

bolas na urna, e 16 bolas no total.

P W 3 W 1 c W 2 c = 5 16

se os eventos W 1 c ,   W 2 c   e   W 3 c aconteceram, há 7 bolas brancas na urna e 18 bolas no total

P W 4 W 1 c W 2 c W 3 c = 7 18

Então, aplicando o princípio da multiplicação para esses eventos:

P ( W 1 c W 2 c W 3 c W 4 c ) = P W 1 c ∙ P W 2 c W 1 c ∙ P W 3 W 1 c W 2 c ∙ P W 4 W 1 c W 2 c W 3 c

Substituindo os valores, nós temos

P W 1 c W 2 c W 3 c W 4 c = 7 ∙ 9 ∙ 5 ∙ 7 12 ∙ 14 ∙ 16 ∙ 18

O que dá aproximadamente

P W 1 c W 2 c W 3 c W 4 c ≈ 0,0456

Passo 3

B - Vemos que o número de bolas na urna aumenta em 2 cada vez que tiramos uma

bola. Assim, o número de desenhos possíveis das bolas é 12 ∙ 14 ∙ 16 ∙ 18 . A primeira bola branca pode ser escolhida de 5 maneiras e a segunda de 7. Uma vez que o número de bolas brancas só é efetivado quando uma bola branca é retirada, é irrelevante

quantas bolas pretas são retiradas enquanto isso.

O mesmo para as bolas pretas, a primeira pode ser qualquer uma das 7 bolas pretas iniciais, e a segunda pode ser qualquer uma das 9 bolas pretas, após a primeira ser sorteada.

Então, em uma ordem específica, há maneiras 5 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 9 de escolher 2 bolas brancas e 2 bolas pretas.

E há 4 2 = 6 combinações de lugares onde as bolas brancas podem estar, isso é

multiplicado para obter: 6 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 9 maneiras de sortear 2 bolas brancas e 2 pretas em diferentes ordens.

Usando a fórmula para probabilidade em um conjunto de eventos igualmente prováveis:

P 2 B , 2 P = 6 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 9 12 ∙ 14 ∙ 16 ∙ 18

O que nos dá aproximadamente

P 2 B , 2 P ≈ 0,2734

Resposta

a )   P W 1 c W 2 c W 3 c W 4 c ≈ 0,0456

b )   P 2 B , 2 P ≈ 0,2734

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