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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 6

Considere uma urna contendo 12 bolas, das quais 8 são brancas. Uma amostra de 4 bolas deve ser retirada com devolução (sem devolução). Qual é a probabilidade condicional (em cada um dos casos) de que a primeira e a terceira bolas sacadas sejam brancas dado que a amostra sacada contenha exatamente 3 bolas brancas?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!

Vamos analisar primeiramente o experimento com reposição, o experimento consiste em quatro bolas são retiradas uma da uma, de uma urna com 12 bolas onde 8 são brancas. Quando a bola é retirada, ela é substituída por uma bola da mesma cor. Os eventos são o seguinte:

A - A   p r i m e i r a   e   a   t e r c e i r a   b o l a   q u e   s ã o   r e t i r a d a s   s ã o   b r a n c a s .

B - E x i s t e m   e x a t a m e n t e   t r ê s   b o l a s   b r a n c a s   n a   a m o s t r a

O enunciado quer saber a probabilidade condicional de A e B, ou seja, P ( A | B ) . Definindo o espaço amostral

S = { x 1 , x 2 , x 3 , x 4 : x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ 1,2 , … , 12 }

Os números de 1 a 8 representa bolas brancas e de 9 a 12 representam bolas azuis. Como nós já diferenciamos as bolas e definimos isso para sabermos que esses eventos são considerados igualmente prováveis.

Passo 2

Com isso, nós temos a seguinte definição para a probabilidade condicional

P A B = P A B P B = A B S B S = A B B

Onde | X | denota os elementos de X. Com isso, temos que os elementos de | B | são iguais a:

B = 8 3 ∙ 4 ∙ 4 = 8192

Toda vez que escolhemos uma bola vermelha, ela pode ser qualquer uma das 8, e quando escolhemos a bola azul é uma das 4. Isso já conta separadamente as permutações das bolas brancas, mas para cada permutação, a bola azul escolhida pode ser x 1 ,   x 2 , x 3   o u   x 4 . Com isso, o número de elementos de | A B | é igual a

A B = 2 ∙ 4 ∙ 8 3 = 4096

A probabilidade condicional é igual a

P A B = 4096 8192 = 1 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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