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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 10

Uma família de fdps que tem sido usada para aproximar a distribuição de renda, tamanho da população da cidade e tamanho das empresas é a família de curvas de Pareto. A família tem dois parâmetros, k e   θ , ambos > 0 e a fdp é

f x ; k ,   θ = k ∙ θ k x k + 1                                           x ≥ θ 0                                                             x < θ

a. Faça o gráfico de f ( x ;   k ,   θ ) .

b. Demonstre que a área total abaixo do gráfico é igual a 1.

c. Se a va X tiver fdp f x ;   k , θ , para qualquer b > θ , fixo obtenha uma expressão para P ( X ≤ b ).

d. Para a b, obtenha uma expressão para a probabilidade P ( a ≤ X ≤ b ) .

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Nessa questão temos uma variável contínua, e para calcularmos as probabilidades vamos integrar a fdp no intervalo pedido. Então, bora láá!!!

Passo 2

O gráfico para f ( x ;   k ,   θ ) pode ser analisado abaixo:

Passo 3

Sabemos que a área abaixo do gráfico é dada pela equação abaixo:

A = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x

Para provar essa relação, escrevemos o seguinte:

∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x = ∫ θ ∞ k ∙ θ k x k + 1 d x

= k ∙ θ k ∫ θ ∞ x - ( k + 1 ) d x

= k ∙ θ k - k x - k - k θ ∞

= - θ k 1 ∞ k - 1 θ k θ ∞

= - θ k 0 - 1 θ k

∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x = 1

Portanto, provamos a identidade!!

Passo 4

Para encontrarmos a probabilidade pedida, como dito no passo 1, vamos integrar no intervalo dado.

P x ≤ b = ∫ θ b k ∙ θ k x k + 1 d x

= k ∙ θ k ∫ θ b x - ( k + 1 ) d x

Seguindo a mesma lógica do passo anterior, encontramos:

P x ≤ b = b k - θ k b k

Passo 5

Por fim, a última probabilidade é:

P a ≤ x ≤ b = ∫ a b k ∙ θ k x k + 1 d x

= k ∙ θ k ∫ a b x - ( k + 1 ) d x

P a ≤ x ≤ b = θ k ∙ [ b k - a k ] b k ∙ a k

Resposta

  1. P x ≤ b = b k - θ k b k

  2. P a ≤ x ≤ b = θ k ∙ [ b k - a k ] b k ∙ a k

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