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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios Suplementares - Ex. 108

. Suponha que um estado específico permita que os indivíduos preencham restituições de imposto somente se o total das deduções em itens ultrapassar valores acima de US$ 5000. Seja X (em milhares de dólares) o total das deduções em itens de um formulário escolhido aleatoriamente. Assuma que X tenha fdp

Passo 1

  1. Sabemos que a distribuição do comprimento do caminho livre de um fóton segue uma distribuição exponencial com parâmetro λ = 0.93

    2. A média da distribuição exponencial é

    μ = 1 λ

    μ = 1 0.93

    μ = 1.075

    A variância da distribuição exponencial é

    σ = 1 λ 2

    Calculando, encontramos que

    λ = 1.075

    Passo 2

  2. A probabilidade de que o comprimento do caminho exceda 3,0 calculamos usando as próximas relações

    3. P X > 3 = 1 - P X ≤ 3

    F X = 1 - e λ x

    Então, agora nós temos

    P X > 3 = 1 - 1 - e - 0.93 ∙ 3

    = e - 2.79

    = 0.0614

    Para encontrar P ( 1 ≤ X ≤ 3 ) , calculamos simulações

    P 1   ≤ X   ≤ 3 = P X ≤ 3 - P X   ≤ 1

    = 1 - e - 0.93 ∙ 3 - 1 - e - 0.93 ∙ 1

    = 1 - e - 2.79 - 1 + e - 2.79

    = 0.333

    Passo 3

  3. Para encontrar um valor que seja excedido em apenas 10% de todos os comprimentos de caminho, usamos

P ( X > x ) = 0,1

Agora, calculamos

P X > x = 1 - P X   ≤ x

P X ≤ x = 1 - P X > x = 1 - 0.1 = 0.9

P X   ≤ x = 1 - e - λ x

Agora podemos encontrar x

1 - e - 0.93 x = 0.9

e 0.93 x = 0.1

x = ln ⁡ 0.1 - 0.93

x = 2.4759

Resposta

  1. μ = 1.075 ,   σ = 1.075
  2. P X > 3 = 0.0614 ,   P 1 ≤ X   ≤ 3 = 0.333
  3. x = 2.4759

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