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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios Suplementares - Ex. 100

O tempo de reação (em segundos) a um determinado estímulo é uma variável aleatória contínua com fdp

Passo 1

Usaremos o seguinte:

A função f ( x ) , x   ∈ R é uma função de densidade de probabilidade se satisfaz as seguintes características:

f x ≥ 0 ,   x ∈ R

∫ - ∞ ∞ f x d x = 1

  1. Nesta subseção verificaremos que f(x)f(x) é função densidade de probabilidade. Temos o seguinte:

    2. Das informações fornecidas nesta tarefa, temos que f ( x ) > 0 para x > 0 e zero mais. Então, nossa função f x ≥ 0 ,   x   ∈ R .

    Agora precisamos ver se nossa função satisfaz a segunda característica:

    ∫ - ∞ ∞ f x d x = ∫ - ∞ 0 0 d x + ∫ 0 ∞ 32 4 + x 3 d x

    = 0 + 32 4 + x - 3 + 1 - 3 + 1 ​ 0 ∞

    = - 16 4 + x 2 ​ 0 ∞

    = - 0 - 1

    = 1

    Então, f(x) é função de densidade de probabilidade

    Passo 2

  2. Agora precisamos determinar a função de distribuição cumulativa. Temos o seguinte:

    3. F x = P   X < x

    = ∫ - ∞ x f t d t

    Agora diferenciamos dois casos.

    Para x ≤ 0 temos o seguinte:

    F x =   ∫ - ∞ x 0 d t

    Para x > 0 temos o seguinte:

    F x =   ∫ - ∞ 0 0 d x + ∫ 0 x 32 4 + t 3 d x

    = 0 + 32 4 + t - 3 + 1 - 3 + 1 ​ 0 x

    = - 16 4 + t 2 ​ 0 x

    = 1 - 16 4 + x 2

    A função de densidade acumulada é:

    F x =   0 , x ≤ 0 1 - 16 4 + x 2 , x > 0

  3. Agora precisamos calcular que o tempo de falha é entre 2 e 5 anos. Temos o seguinte:

    4. P 2 < X < 5 = P X < 5 - P X < 2

    = 1 - 16 4 + 5 2 - 1 - 16 4 + 2 2

    = 0.247

    A probabilidade de que o tempo de falha esteja entre 2 e 5 é 0.247.

    Passo 3

  4. Agora precisamos calcular o tempo esperado até a falha. Temos o seguinte:

    5. E X =   ∫ - ∞ ∞ x f x d x

    = ∫ - ∞ 0 x ∙ 0 d x + ∫ 0 ∞ 32 ∙ x x + 4 3 d x

    = 0 + 32 ( - x 2 x + 4 2 ​ 0 ∞ + ∫ 0 ∞ 1 2 x + 4 2 d x )

    = - 16 1 x + 4 ​ 0 ∞

    = - 0 - 16 4

    = 4

  5. Agora precisamos calcular o valor esperado quando X tem a função de densidade de probabilidade f x = 100 4 + x ,   x > 0 . Temos o seguinte:

E X =   ∫ - ∞ ∞ x f x d x

= ∫ - ∞ 0 x ∙ 0 d x + ∫ 0 ∞ 100 x 4 + x d x

= 0 + 100 ∫ 0 ∞ 1 - 4 4 + x d x

= ∞

O valor residual esperado é infinito

Resposta

Respondemos a todas as perguntas nesta tarefa.

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