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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 3.4 - Ex. 18

As pacientes diagnosticadas com câncer de mama precocemente têm 80% de probabilidade de serem curadas. Para um grupo de 12 pacientes nessas condições, calcule a probabilidade de:

  1. Oito ficarem completamente curadas.
  2. Não serem curadas de 3 a 5 pacientes.
  3. Não mais de 2 permanecerem com a doença.

Passo 1

Temos um modelo Binomial, os testes são ensaios de Bernoulli independentes, sendo seu modelo dado por:

P X = x = n k ⋅ p k ⋅ 1 - p n - k

Temos que nossa variável aleatória será X = número de pacientes curadas.

Assim, em (a) queremos saber a probabilidade de 8 pacientes do nosso grupo de 12 pacientes ficarem totalmente curadas, ou seja, P ( X = 8 ) , logo:

P X = 8 = 12 8 ⋅ 0,8 8 ⋅ 0,2 4 = 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ! 8 ! 4 ! ⋅ 0,8 8 ⋅ 0,2 4 = 0,1328

Passo 2

Já em (b) nós vamos procurar a probabilidade de 3 a 5 pacientes não forem curadas, ou seja, termos de 6 a 9 pessoas curadas, assim P ( 6 ≤ X ≤ 9 ) , daí:

P 6 ≤ X ≤ 9 = P X = 6 + P X = 7 + P X = 8 + P ( X = 9 )

P 6 ≤ X ≤ 9 = 12 6 ⋅ 0,8 6 ⋅ 0,2 6 + 12 7 ⋅ 0,8 7 ⋅ 0,2 5 + 12 8 ⋅ 0,8 8 ⋅ 0,2 4 + 12 9 ⋅ 0,8 9 ⋅ 0,2 3

P 6 ≤ X ≤ 9 = 12 … 6 ! 6 ! 6 ! ⋅ 0,8 6 ⋅ 0,2 6 + 12 … 7 ! 7 ! 5 ! ⋅ 0,8 7 ⋅ 0,2 5 + 0,1328 + 12 … 9 ! 9 ! 3 ! ⋅ 0,8 9 ⋅ 0,2 3

P 6 ≤ X ≤ 9 = 0,0015 + 0,0531 + 0,1328 + 0,2362 = 0,4236

Passo 3

E por fim, em (c), queremos descobrir a probabilidade de não mais de 2 pacientes permanecerem com a doença, ou seja, a probabilidade de 10 ou mais pacientes estarem curadas, assim, P ( X ≥ 10 ) , logo:

P X ≥ 10 = P X = 10 + P X = 11 + P X = 12

P X ≥ 10 = 12 10 ⋅ 0,8 10 ⋅ 0,2 2 + 12 11 ⋅ 0,8 11 ⋅ 0,2 1 + 12 ⋅ 0,8 12 ⋅ 0,2 0

P X ≥ 10 = 12 … 10 ! 10 ! 2 ! ⋅ 0,8 10 ⋅ 0,2 2 + 12 ⋅ 11 ! 11 ! 1 ! ⋅ 0,8 1 1 ⋅ 0,2 1 + ⋅ 0,8 1 2

P X ≥ 10 = 0,2834 + 0,2061 + 0,0687 = 0,5582

Resposta

  1. 0,1328;
  2. 0,4236;
  3. 0,5582.
Ver Outros Exercícios desse livro

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