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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 3.4 - Ex. 16

Uma vacina contra a gripe é eficiente em 70% dos casos. Sorteamos, ao acaso, 20 dos pacientes vacinados e pergunta-se a probabilidade de obter:

  1. Pelo menos 18 imunizados.
  2. No máximo 4 imunizados.
  3. Não mais do que 3 não imunizados.

Passo 1

Temos um modelo Binomial, os testes são ensaios de Bernoulli independentes, ou seja, testa-se um paciente e verifica-se se ele está imunizado. Sendo seu modelo dado por:

P X = x = n k ⋅ p k ⋅ 1 - p n - k

Temos que nossa variável aleatória será X = número de pacientes imunizados.

Assim, temos em (a) que queremos saber a probabilidade de ter pelo menor 18 imunizados, ou seja, P ( X ≥ 18 ) , logo:

P X ≥ 18 = P X = 18 + P X = 19 + P ( X = 20 )

P X ≥ 18 = 20 18 ⋅ 0,7 18 ⋅ 0,3 2 + 20 19 ⋅ 0,7 19 ⋅ 0,3 1 + 20 20 ⋅ 0,7 20 ⋅ 0,3 1

P X ≥ 18 = 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ! 18 ! ⋅ 2 ⋅ 0,7 18 ⋅ 0,3 2 + 20 ⋅ 19 ! 1 9 ! ⋅ 1 ⋅ 0,7 19 ⋅ 0,3 1 + 0,7 20 ⋅ 0,3 0 = 0,035

Passo 2

Em (b) queremos saber a probabilidade de no máximo 4 pacientes estarem imunizados, ou seja, P X ≤ 4 , assim:

P X ≤ 4 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 + P ( X = 4 )

P X ≤ 4 = 20 0 ⋅ 0,7 0 ⋅ 0,3 20 + 20 1 ⋅ 0,7 1 ⋅ 0,3 19 + 20 2 ⋅ 0,7 2 ⋅ 0,3 18 + 20 3 ⋅ 0,7 3 ⋅ 0,3 17 + 20 4 ⋅ 0,7 4 ⋅ 0,3 16

P X ≤ 4 = 5,5 × 10 - 6

Passo 3

Já em (c) queremos saber a probabilidade de não mais do que 3 não estarem imunizados, ou seja, 17 pessoas ou mais estarem imunizadas, assim:

P X ≥ 17 = P X = 17 + P X = 18 + P X = 19 + P X = 20

P X ≥ 17 = P X = 17 + P X ≥ 18

P X ≥ 17 = 20 17 ⋅ 0,7 17 ⋅ 0,3 3 + 0,035 = 0,107

Resposta

  1. 0,35;
  2. 5,5 × 10 - 6 ;
  3. 0,107.
Ver Outros Exercícios desse livro

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