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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 6º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 41

Foram gerados 1.000 valores de uma distribuição uniforme no intervalo 0 ; 5 , ou seja,

θ = 5 . As seguintes estatísticas foram obtidas:

x 1 = min ⁡ X 1 ; … … ; X 1000 = 0,01132 ,       x 1000 = M = m á x X 1 ; … … ; X 1000 = 4,992

q 1 = 1,315   ; q 2 = 2,572   ; q 3 = 3,829   ; x - = 2,547 .

Calcule T 1 , T 2   e aplique o resultado do problema 40 para obter um intervalo de confiança para θ ,   com c . c = 90 %   .

Passo 1

Como X possui uma distribuição uniforme, isso é: X ~ u n i f o r m e a = 0 ; b = θ = 5

Então sabemos que:

E X = a + b 2 = θ 2       e       V a r X = b - a + 1 2 - 1 12 = θ 2 12

Com isso, sabemos que a média amostral X - deve estar próxima de θ 2 , consequentemente podemos estimar θ se tomarmos T 1 = 2   X - .

Logo, T 1 = 2   .   2,547 = 5,094

Passo 2

Sabendo que para qualquer valor de θ , M < θ com M se aproximando de θ quando n   muito grande, dessa forma podemos usar M para estimar θ , isso significa que para n muito grande:

T 2 ≅ M

Do enunciado, M = 4,992 (repare como é próximo de θ , pois n   é grande)

Então, T 2 ≅ 4,992

Passo 3

Sabemos que podemos aproximar X - ~ N E X ; V a r X n → X - ~ N θ 2 ; θ 2 12   n

Temos então:

Z = X - - θ 2 θ 2 12   n ~ N ( 0,1 )

Como c . c = 90 %   e n t ã o   α = 10 % :

I C θ ; 0.90 = - z α 2 ≤ X - - θ 2 θ 2 12   n ≤ z α 2 =

= 2 . X - - 1,64   . θ 12   .   n   ≤ θ ≤ 2 . X - + 1,64   . θ 12   .   n  

  1. Estimando θ por T 1 = 2   .   X - :

    2. I C θ ; 0,90 = 2   . 2,547 - 1,64   2   .   2,547 12   .   1000 ;   2   . 2,547 + 1,64   2   .   2,547 12   .   1000

    I C θ ; 0,90 = ( 4,941   ; 5,246 )

  2. Estimando θ por T 2 = M :

I C θ ; 0,90 = 2   . 2,547 - 1,64   . 4,992 12   .   1000 ;   2   . 2,547 + 1,64   . 4,992 12   .   1000

I C θ ; 0,90 = ( 4,944   ; 5,243 )

Resposta

Portanto: T 1 = 5,094     e     T 2 = 4,992

Para T 1 = 2 X - :

I C θ ; 0,90 = ( 4,941   ; 5,246 )

Para T 2 = M :

I C θ ; 0,90 = ( 4,944   ; 5,243 )

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