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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 99

Especifique os estimadores de momentos para // e

C72na distribuição log-normal.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Devemos encontrar os estimadores de momento para μ e σ 2 da distribuição Log-Normal. O pdf da distribuição Lognormal com parâmetros μ e σ 2 é dado por

f x , μ , σ 2 = 1 2 π σ x e 1 2 π [ l n ⁡ ( x ) - μ ] * ,   x ≥ 0 , σ > 0

A média e a variância da distribuição log normal são dadas por

F ( X ) = e p + σ x 2  and  a 2 = e 2 p + e x e e x - 1

Passo 2

Sabe-se que as estimativas amostrais da média e variância populacional são médias amostrais e a variância ( x ‾ ) amostral s 2 Equacionando ambos os momentos, H ˆ 1 1 = x - e o ˆ 2 = s 2

  ⇒ x ‾ = e p + σ 2 2   ⇒ l o g ⁡ ( x ‾ ) = μ + σ 2 2   ⇒ μ ˆ = l o g ⁡ ( x ‾ ) - o 2 2

Similarmente

s 2   = o ˆ 2   = e 2 + * * e e x - 1 ⇒ l n ⁡ s 2   = l n ⁡ e 2 p + e x + l n ⁡ e σ x - 1   = 2 μ + σ 2 + l n ⁡ e e x - 1   = 2 l o g ⁡ ( x ‾ ) - σ 2 2 + σ 2 + l n ⁡ e e x - 1   = ( 2 l n ⁡ ( x ‾ ) ) + l n ⁡ e e x - 1   = l n ⁡ x ‾ 2 + l n ⁡ e e x - 1

Resolva para o valor de , σ 2 então,

s → 2 = l n ⁡ 1 + s 2 x ‾ 2

Portanto, o estimador de momento μ de é l o g ⁡ ( x - ) - o ˆ 2 2 e o estimador de momento de σ 2 é

l n ⁡ 1 + s 2 x ‾ 2

Resposta

Resposta nos passos.

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