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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 6.3 - Ex. 10

A função apresentada, a seguir, corresponde à densidade de uma variável aleatória contínua X :

f x = 1 4 x 3 ,     0 ≤ x ≤ 2 ; 0 ,                           c a s o   c o n t r á r i o .

Determine:

(a) P X > 1

(b) P X < 1 2

(c) P 1 2 < X ≤ 1 |   X < 3 2

Passo 1

Bom, sabemos que para uma variável contínua relacionamos a probabilidade com a área de uma curva; então dizemos o seguinte:

P a ≤ x ≤ b = ∫ a b f x d x

Onde f ( x ) é a função densidade de probabilidade.

  1. Vamos começar então:

    2. Estabelecendo uma relação entre a probabilidade e a área da seguinte forma:

    P X > 1 = ∫ 1 + ∞ f x d x = ∫ 1 2 f x d x + ∫ 2 + ∞ f x d x

    Da função densidade:

    P X > 1 = ∫ 1 2 1 4 x 3 d x + ∫ 2 + ∞ 0 d x

    Teremos:

    P X > 1 = 1 4 x 4 4 2 1 + 0

    P X > 1 = 1 - 1 16 = 0,9375

    Bem tranquilo por enquanto.

    Passo 2

  2. Letra B agora, mesma idéia:

    3. P X < 1 2 = ∫ - ∞ 1 2 f x d x = ∫ - ∞ 0 f x d x + ∫ 0 1 2 f x d x

    E então:

    P X < 1 2 = 0 + ∫ 0 1 2 1 4 x 3 d x

    Só mandar ver nessa integral:

    P X < 1 2 = 1 4   x 4 4 1 2 0 = 1 4 1 4   .   2 4 - 0

    Cuidado para não se perder nas frações:

    P X < 1 2 = 1 256 = 0,00390

    Passo 3

  3. Só mais uma:

P 1 2 < X ≤ 1 |   X < 3 2

PQP, essa daí ta bem diferente! E agora?

Carmeia, é só uma probabilidade condicional; em outras palavras ela ta dizendo o seguinte:

“Qual a probabilidade do nosso X estar entre 1 2   e   1 , sabendo que ele é menor do que 3 2 ??”

Felizmente existe uma formulazinha pra ajudar calcular uma condicional, ela é a seguinte:

P A B = P A ∩ B P B

No nosso caso, se dissermos que A   e   B   são independentes, então:

P A B = P A P ( B ) P B = P ( A )

Isso se deve aquela regrinha, “e” = multiplica, “ou” = soma.

Então, teremos:

P 1 2 < X ≤ 1 |   X < 3 2 = P 1 2 < X ≤ 1 ∩ X < 3 2 P X < 3 2 = P 1 2 < X ≤ 1

Ou seja, basta encontrar:

P 1 2 < X ≤ 1 = ∫ 1 2 1 f x d x = ∫ 1 2 1 1 4 x 3 d x

P 1 2 < X ≤ 1 = 1 4 1 4 - 1 64 = 0,0586

Portanto, podemos concluir:

P 1 2 < X ≤ 1 |   X < 3 2 = 0,0586

Resposta

Concluímos que:

(a) P X > 1 = 0,9375

(b) P X < 1 2 = 0,00390

(c) P 1 2 < X ≤ 1 |   X < 3 2 = 0,0586

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