Enunciado
Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 6.3 - Ex. 23
O tempo necessário para eliminar o perigo de contaminação de certo pesticida, após sua aplicação em um pomar, é uma variável aleatória Exponencial de parâmetro 2 (em anos). O maior ou menor tempo depende de fatores como chuva, vento e umidade da região.
Tendo em vista esse comportamento, as autoridades sanitárias recomendam que o contato direto ou indireto com as frutas pulverizadas seja evitado por algum tempo após a aplicação.
Calcule a probabilidade de uma fruta desse pomar, escolhida ao acaso, não estar mais contaminada após 1 ano da pulverização. Qual é a nossa “segurança” se aguardarmos 2 anos para consumir essas frutas?
Passo 1
Antes de tudo, vamos identificar quem é a nossa variável:
E sabemos, pelo enunciado, que .
Se você se lembrar, a função densidade de probabilidade quando temos um modelo exponencial, é dada pelo seguinte:
Onde é justamente o parâmetro do modelo; isso significa que no nosso caso ficaremos com o seguinte:
Passo 2
Repare que, para após um ano não existir mais contaminação, é necessário que toda a contaminação tenha sido eliminada antes de se fazer um ano.
Em outras palavras, temos que encontrar a probabilidade de a contaminação ser eliminada antes de um ano:
Chamando , e então encontramos:
Portanto,
Interpretando esse resultado, significa que existe uma chance de de a contaminação ser eliminada totalmente no período de um ano.
Passo 3
Depois, o exercício pergunta qual a “segurança” que podemos ter, se esperarmos dois anos.
Bom, então basta ver qual a probabilidade de a contaminação ser eliminada num intervalo de zero até dois anos.
Logo,
Ou seja,
Isso significa que num período de dois anos, da contaminação será eliminada.
Resposta
Concluindo, no período de um ano, da contaminação será eliminada; enquanto que se aguardarmos dois anos, nossa margem de segurança será de da contaminação sendo eliminada.