Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 66

Um serviço de facilidades opera com duas linhas de serviço. Em um dia selecionado aleatoriamente, considere X a proporção do tempo no qual a primeira linha é usada e Y a proporção do tempo no qual a segunda linha é usada. Suponha que a função de densidade probabilidade conjunta para ( X ,   Y ) seja

f ( x ,   y ) = 3 2 x 2 + y 2             0 ≤ x ,   y ≤ 1 0 ,                                       c a s o   c o n t r á r i o

(a) Calcule a probabilidade de que nenhuma das duas linhas esteja ocupada mais do que a metade do tempo.

(b) Encontre a probabilidade de que a primeira linha esteja ocupada mais do que 75% do tempo.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para calcularmos a probabilidade de uma função de densidade de uma variável aleatória contínua, nós temos a seguinte fórmula:

P a ≤ X ≤ b = ∫ a b f x d x

Usamos integral neste caso, pois, variáveis contínuas consideram os números irracionais. Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Queremos a probabilidade de que ambas as linhas estejam ocupadas não mais que a metade do tempo, portanto:

P X < 1 2 ,   Y < 1 2 = P 0 < X < 1 2 ,   0 < Y < 1 2

= ∫ 0 1 / 2 ∫ 0 1 / 2 3 2 ( x 2 + y 2 ) d y d x

= ∫ 0 1 / 2 3 2 x 2 y + 1 2 y 3 0 1 / 2 d x

= ∫ 0 1 / 2 3 2 x 2 1 2 + 1 2 1 2 3 d x

= ∫ 0 1 / 2 3 4 x 2 + 1 16 d x

= 1 4 x 3 + x 16 0 1 / 2

= 1 4 1 2 3 + 1 16 1 2

P X < 1 2 ,   Y < 1 2 = 1 16

Passo 3

Por fim, queremos encontrar a seguinte probabilidade P ( X > 0,75 ) , que é igual a P ( 0,75 < X < 1 ,   0 < Y < 1 ) .

P 0,75 < X < 1 ,   0 < Y < 1 = ∫ 0,75 1 ∫ 0 1 3 2 ( x 2 + y 2 ) d y d x

= ∫ 0 , 75 1 3 2 x 2 y + 1 2 y 3 0 1 d x

= ∫ 0 , 75 1 3 2 x 2 + 1 2 d x

= 1 2 x 3 + x 2 0 , 75 1

= 1 2 + 1 2 - 1 2 0,75 3 - 1 2 0,75

P 0,75 < X < 1 ,   0 < Y < 1 = 53 128

Resposta

(a) 1 / 16

(b) 53 / 128

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam XeY variáveis aleatórias com distribuição normal bivariada cuja função densidade de probabilidade conjunta de XeY é dada por: f x , y = 1 2 π σ x σ y 1 - ρ 2 1 2 exp ⁡ - 1 2 1 - ρ 2 X - μ x σ x
Sejam X 1 , … , X n variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial de parâmetros λ 1 , … ,λ n , respectivamente:a) determine a distribuição de X ( 1 ) = min 1 ≤ i ≤ n ⁡ X i ; b) mostr
Considere novamente os exercícios de 1a6 . Determine:a) f y xef ( x | y ) ;b) E X Y = ye E Y X = x .
Seja W uma variável aleatória com distribuição gama com parâmetros αeβ . Admita que, condicional a W = w , X 1 , … , X N são variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial de parâmetr
Suponha que a densidade conjunta de XeY é dada por: f x , y = e - y y ,0xy e y ≥ 0 , f x , y = 0 caso contrário.a) calcule E X Y = y ; b) determine C o v X , Y .