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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 22

Se U é uniforme no intervalo 0,2 π   e   Z , independente de U , é exponencial com parâmetro 1, mostre que X   e   Y definidos por X = 2 Z cos ⁡ U     e     Y = 2 Z sin ⁡ U são variáveis aleatórias independentes, cada uma com distribuição normal padrão.

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de probabilidade do Dantas Se U é uniforme no intervalo 0,2 π   e   Z , independente de U , é exponencial com parâmetro 1, mostre que X   e   Y definidos por X = 2 Z cos ⁡ U     e     Y = 2 Z sin ⁡ U são variáveis aleatórias independentes, cada uma com distribuição normal padrão.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

então galera nessa questão ele pede para mostrar que X   e   Y são independentes tendo,

X = 2 Z cos ⁡ U e Y = 2 Z sin ⁡ U

Sendo,

E X Y = E X E ( Y )

Ficando,

E X Y = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x y   f x , y d x d y = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x y   f X X f Y ( Y ) d x d y

Logo,

∫ - ∞ ∞ x y f X f Y d x d y = E X E ( Y )

Com isso substituindo os valores de x   e   y , temos cos ⁡ U sin ⁡ U = 1 , ficando

E X E Y = 2 Z cos ⁡ U .   2 Z sin ⁡ U = 2 Z

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

E X E Y = 2 Z

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