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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 20

Se X   e   Y são variáveis aleatórias gama independentes com parâmetros α , λ   e   ( β , λ ) , respectivamente. Calcule a densidade conjunta de U = X + Y     e     V = X X + Y . Neste caso, U   e   V são independentes?

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de probabilidade do Dantas se X   e   Y são variáveis aleatórias gama independentes com parâmetros α , λ   e   ( β , λ ) , respectivamente. Calcule a densidade conjunta de U = X + Y     e     V = X X + Y . Neste caso, U   e   V são independentes?

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha para afirmarmos ou não se U   o u   V são independentes com suas variáveis valendo os parâmetros de,

α , λ   e     ( β , λ )

E com sua densidade de U = X + Y     e     V = X X + Y  

Temos a lotação definida por,

f x = β α r ( α ) x α - 1 e - β x ,   x > 0

E como a função gama ´´e definida como,

r α = ∫ o α x α - 1 e - x d x     ( α > 0 )

Integrando por partes, tem-se

r α = α - 1 . r ( α - 1 )

Se α é um número natural temos,

r α = α - 1 !

Logo a sua definição para α , λ     e     β , λ fica,

r α = { α - 1 ,   α , λ ,   β , λ , … . }

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

r α = { α - 1 ,   α , λ ,   β , λ , … . }

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