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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 23

Verifique, em cada caso, se X   e   Y são independentes.

a) f x , y =   2 x e - y ,     0 ≤ x ≤ 1     e     y ≥ 0 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

b) f x , y =   2 4 x y ,     x ≥ 0   ,   y ≥ 0 ,     x + y ≤ 1 , 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

c) f x , y =   15 4 x 2 ,     0 ≤ y ≤ 1 - x 2 , 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de probabilidade do Dantas ele pede para verificar, em cada caso, se X   e   Y são independentes.

a) f x , y =   2 x e - y ,     0 ≤ x ≤ 1     e     y ≥ 0 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

b) f x , y =   24 x y ,     x ≥ 0   ,   y ≥ 0 ,     x + y ≤ 1 , 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

c) f x , y =   15 4 x 2 ,     0 ≤ y ≤ 1 - x 2 , 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galera nessa questão ele deseja determinar se x   e   y são independentes e para isso dado,

Na letra (a) para,

a) f x , y =   2 x e - y ,     0 ≤ x ≤ 1     e     y ≥ 0 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

vamos ter que,

∫ 0 1 2 x e - y d x → 2 x 2 2 e y ​ 0 1 = e y → é   i n d e p e n d e n t e

Na letra (b) para,

b) f x , y =   24 x y ,     x ≥ 0   ,   y ≥ 0 ,     x + y ≤ 1 , 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

temos,

∫ 0 1 ∫ 0 1 24 x y d x d y = ∫ 0 1 24 x 2 2 y ​ 0 1 = ∫ 0 1 12 y d y = 12 2 y 2 ​ 0 1 = 6 → é   i n d e p e n d e n t e

E por fim na letra ( c ) para,

c) f x , y =   15 4 x 2 ,     0 ≤ y ≤ 1 - x 2 , 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

temos,

∫ 0 1 ∫ 0 1 15 4 x 2 d x d y →   ∫ 0 1 15 4     x 3 3 ​ 0 1 d y → ∫ 0 1 15 12 d y = 15 12 y ​ 0 1 = 15 12 → é   i n d e p e n d e n t e

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) e y → é   i n d e p e n d e n t e

b) 6 → é   i n d e p e n d e n t e

c) 15 12 → é   i n d e p e n d e n t e

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