O gráfico abaixo representa a densidade de uma variável aleatória X .

c. Calcule M d X ,   E X ,   V a r X .

Passo 1

Eai,tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

O exercício nos pede para calcular o valor de M d X ,   E X ,   V a r X com base na função densidade de probabilidade dada. Certo?

Pois bem, você se lembra desse conceito? Porque se não, é hora de dar aquela revisão!

Passo 2

Calculando o valor esperado de X ,   temos:

E X = ∫ - ∞ ∞ x   f x d x = ∫ - 2 2 1 8 × x d x + ∫ 2 4 1 4 × x d x = x 2 16 - 2 2 + x 2 8 2 4

= 1 16 × 2 2 - - 2 2 + 1 8 × 4 2 - 2 2 = 1 16 × 4 - 4 + 1 8 × 16 - 4 = 1 8 × 12 = 1,5 .

Passo 3

Observando o gráfico, chegamos a conclusão de M d X = 2 ,   pois P X ≥ M d = 0,5 .

Agora vamos calcular E ( X 2 ) porque precisaremos para o cálculo da variância. Ok?

E X 2 = ∫ - ∞ ∞ x 2   f x d x = ∫ - 2 2 1 8 × x 2 d x + ∫ 2 4 1 4 × x 2 d x = x 3 24 - 2 2 + x 3 12 2 4

= 1 24 × 2 3 - - 2 3 + 1 12 × 4 3 - 2 3 = 16 24 + 56 12 = 5,33 .

Passo 4

Logo, a variância de X será dada por:

V a r X = E X 2 - E X 2

= 5,33 - 1,5 2 = 3,08 .

Resposta

Assim, concluímos o exercício .

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