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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios Suplementares - Ex. 93

De todos os clientes que compram portões automáticos de garagem, 75% compram um modelo acionado por corrente. Seja X = número entre os próximos 15 compradores que selecionam o modelo acionado por corrente

  1. Qual é a fmp de X?
  2. Calcule P(X>10).
  3. Calcule P( 6   ≤ X   ≤ 10 ) .
  4. Calcule μ   e   σ 2
  5. Se a loja atualmente tiver em estoque 10 modelos acionados por corrente e oito acionados por eixo, qual é a probabilidade de os pedidos desses 15 clientes serem todos atendidos com o estoque existente?

Passo 1

  1. A Variável Aleatória Binomial X é definida como

    2. X =   X   =   o   n ú m e r o   d e   S ' s   p o r   m ê s   n   t e n t a t i v a s

    onde as condições de um a quatro na página 117 são satisfeitas (experiência binomial).

    A partir disso, podemos notar que a variável aleatória dada XX tem Distribuição Binomial com pmf b(x;n,p).

    b x ; n ,   p =   n x p x 1 - p n - x ,   x = 0,1 , 2 , … , n 0

    Podemos notar que os parâmetros são

    n = 15

    p = 0.75

    X   ~ B i n ( 15,0.75 )

    Passo 2

  2. Função de densidade cumulativa cdf da variável aleatória binomial X com parâmetros n e p é

    3. B x ; n ,   p = P   X   ≤ x =   ∑ y = 0 x b y ; n , p ,   x = 0,1 , … , n

    O seguinte é verdade

    P   X > 10 = 1 - P   X   ≤ 10 = 1 - B 10 ; 15 ,   0.75 = 1 - 0.314 = 0.686

  3. O seguinte vale

    4. P   6   ≤ X   ≤ 10 = B 10 ; 15 ,   0.75 - B 5 ; 15 ,   0.75 = 0.314 - 0.001 = 0.313

  4. Proposição: Para uma variável aleatória binomial X com parâmetros n, p e q=1-p, o seguinte é verdadeiro

    5. E X = n p ;

    V X = n p 1 - p = n p q ;

    σ x = n p q  

    O seguinte é verdadeiro

    E X =   μ = 15 ∙ 0.75 = 11.75

    Além disso, temos que a variância é

    V X =   σ 2 = 15 ∙ 0.75 ∙ 0.25 = 2.81

    Passo 3

  5. Para atender aos requisitos, o seguinte deve ser verdadeiro

X   ≤ 10 ,

porque se houver 11 clientes que selecionam o modelo orientado por cadeia, a solicitação não pode ser atendida (existem apenas 10 modelos orientados por cadeia), além disso, o seguinte deve ser verdadeiro

15 - X   ≤ 8

porque deve haver menos de 8 clientes que selecionam modelos acionados por eixo (15-X representa as pessoas que selecionam modelos acionados por eixo).

Quando combinamos os requisitos obtemos

7   ≤ X   ≤ 10

Portanto, a probabilidade solicitada é

P   7   ≤ X   ≤ 10 = B 10 ; 15 ,   0.75 - B 6 ; 15 ,   0.75

= 0.314 - 0.004

= 0.310

Resposta

  1. X   ~ B i n ( 15,0.75 )
  2. P X > 10 = 0.686
  3. P 6   ≤ X   ≤ 10 = 0.313
  4. μ = 11.75 ;   σ 2 = 2.81
  5. P   7   ≤ X   ≤ 10 = 0.310

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