À medida que a população envelhece, há uma preocupação crescente com relação às lesões relacionadas a acidentes na velhice. O artigo "Age and Gender Differences in Single-Step Recovery from a Forward Fall" (J. of Gerontology, 1999, p. M44-M50) relatou um experimento em que o ângulo de inclinação máximo – o mais afastado que uma pessoa é capaz de se inclinar e ainda voltar ao estado normal em uma etapa – foi determinado para uma amostra de mulheres jovens (21-29 anos) e uma amostra de mulheres idosas (67-81 anos). As observações a seguir são consistentes com os dados resumidos fornecidos no artigo: MJ: 29, 34, 33, 27, 28, 32, 31, 34, 32, 27 MI: 18, 15, 23, 13, 12 Os dados sugerem que o ângulo de inclinação máximo médio real das mulheres idosas é mais que 10 graus menor que o das mulheres jovens? Determine e teste as hipóteses relevantes no nível de significância 0,10, obtendo um valor P

Primeiro precisamos verificar a suposição de normalidade para ambas as amostras, e para isso vamos desenhar um gráfico de probabilidade normal.

Este gráfico plota as observações ordenadas versus os quantis normais, que são na verdade valores , para todo i∈{1,2,…,n}, onde é a função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória normal padrão, sua função inversa.

Usamos o software estatístico R para desenhar o gráfico de probabilidade normal. Por exemplo, o comando

qqnorm(x)

irá desenhar o gráfico desejado, que é mostrado na imagem abaixo.

Os dois gráficos mostram retidão, exceto por uma ligeira curvatura em suas caudas. No entanto, o desvio não parece grande o suficiente para que possamos rejeitar a hipótese de normalidade (também, os tamanhos das amostras são muito pequenos para poder rejeitar essa hipótese com alguma confiança).

Em outras palavras, podemos assumir que nossas amostras são distribuídas aproximadamente normalmente.

Aqui está o gráfico:

A estatística de teste usada para testar as hipóteses acima é

que, sob a hipótese nula, segue a distribuição t com graus de liberdade, onde é calculado como

As médias amostrais podem ser calculadas como

Os desvios padrão da amostra são então

E

Assim, o número de graus de liberdade é

Então, substituindo todos os valores, (este é o valor nulo, ou seja, o valor assumido na hipótese nula) na fórmula acima produz o valor da estatística de teste:

Como o teste é de cauda superior, então o valor P desse teste é

onde t denota o valor observado da estatística de teste.

Para encontrar aproximadamente este valor de P, consultamos a tabela A.5 nas Tabelas do Apêndice. Na linha rotulada (esses são os graus de liberdade), encontramos os dois valores mais próximos de t=2.077. Os dois valores e , e é entre esses dois valores, o que significa que é entre 0.025 e 0.05, então podemos concluir que

Para encontrar o valor exato de PP, podemos usar algum software. Uma linha

no software estatístico R relatará o valor P, que acaba sendo

Como o valor PP deste teste é menor que nosso nível de significância α=0.10, então podemos rejeitar a hipótese nula a favor da hipótese alternativa, e concluímos que o ângulo de inclinação máximo médio da população verdadeira é mais de 10 graus menor para mulheres mais velhas do que para mulheres mais jovens