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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 44

Determine a covariância das variáveis aleatórias X e Y do Exercício 3.39.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. No Exercício 3.39, nós encontramos a seguinte distribuição de probabilidade conjunta para as variáveis X e Y :

E a covariância nós vamos encontra pela fórmula abaixo:

σ X Y = E X Y - μ X μ Y

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Nós precisamos encontrar as distribuições marginais de X e Y , para depois encontramos μ X e μ Y . Como as variáveis são discretas, temos:

g 0 = ∑ y = 0 2 f 0 ,   y = 0 + 2 70 + 3 70 = 5 70

g 1 = ∑ y = 0 2 f 1 ,   y = 3 70 + 18 70 + 9 70 = 30 70

g 2 = ∑ y = 0 2 f 2 ,   y = 9 70 + 18 70 + 3 70 = 30 70

g 3 = ∑ y = 0 2 f 3 ,   y = 3 70 + 2 70 + 0 = 5 70

Agora, para h ( y ) :

h 0 = ∑ x = 0 3 f x ,   0 = 0 + 3 70 + 9 70 + 3 70 = 1 5 70

h 1 = ∑ x = 0 3 f x ,   1 = 2 70 + 18 70 + 18 70 + 2 70 = 40 70

h 2 = ∑ x = 0 3 f x ,   2 = 3 70 + 9 70 + 3 70 + 0 = 15 70

Passo 3

Sendo assim, podemos encontrar a média de X :

μ X = ∑ x x g ( x )

= ∑ x 3 x g ( x )

= 0 5 70 + 1 30 70 + 2 30 70 + 3 5 70

μ X = 3 2

De forma similar, a média de Y é:

μ Y = ∑ x y h ( y )

= ∑ y 2 x h ( y )

= 0 15 70 + 1 40 70 + 2 15 70

μ Y = 1

Passo 4

O que nos falta para encontrarmos a covariância é o valor esperado da variável aleatória X Y .

E X Y = ∑ x ∑ y x y f ( x , y )

= ∑ x = 0 3 ∑ y = 0 2 x y f ( x , y )

Nós podemos remover os adendos que contém x = 0 ou y = 0 , pois, x y f x , y = 0 .

= ∑ x = 1 3 ∑ y = 1 2 x y f ( x , y )

= 1 1 18 70 + 2 1 18 70 + 3 1 2 70 + 1 2 9 70 + 2 2 3 70 + ( 3 ) ( 2 ) ( 0 )

E X Y = 9 7

Passo 5

Por fim, temos todos os valores necessário para calcularmos a covariância, usando a fórmula do Passo 1:

σ X Y = E X Y - μ X μ Y = 9 7 - 3 2 1 = - 3 14

Resposta

σ X Y = - 3 14

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