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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 43

O tempo, em minutos, para que um avião obtenha liberação para decolar de certo aeroporto é a variável aleatória Y = 3   X - 2 , onde X tem função de densidade

f x = 1 4 e - x / 4 ,                                           x > 0 0 ,                           c a s o   c o n t r á r i o  

Determine a média e a variância da variável aleatória Y .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. A função de densidade dada para a variável aleatória contínua X no Exercício 4.12 é:

f x = 2 1 - x ,                             0 < x < 1 0 ,                                     c a s o   c o n t r á r i o

E no Exercício 4.21 nós encontramos μ g ( X ) = E g X = E X 2 = 1 / 6 .

Sendo assim, para determinarmos a variância, nós utilizaremos a fórmula a seguir:

σ g ( X ) 2 = ∫ x g x - μ g X 2 f ( x ) d x

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Primeiro, precisamos definir a média da variável Y , sendo definida por:

μ Y = ∫ x ( 3 x - 2 ) f ( x ) d x

= ∫ 0 ∞ 3 x - 2 1 4 e - x / 4 d x

= lim t → ∞ ⁡ 3 ∫ 0 t x 4 e - x 4 d x - 2 ∫ 0 t e - x 4 d x

Usando integral por partes na integral da esquerda:

= lim t → ∞ ⁡ 3 - x e - x 4 0 t - ∫ 0 t - e - x 4 d x - 2 - e - x 4 0 t

= lim t → ∞ ⁡ 3 - x e - x 4 0 t - ∫ 0 t - e - x 4 d x - 2 - e - x 4 0 t

= lim t → ∞ ⁡ 3 - t e - t 4 - 4 e - x 4 0 t + 2 e - t 4 - 2

= lim t → ∞ ⁡ 3 - t e - t 4 - 4 e - t 4 + 4 + 2 e - t 4 - 2

= lim t → ∞ ⁡ 10 - 3 t + 10 - t / 4

Como qualquer número elevado a menos infinito é 0 a média de Y é:

μ Y = 10

Passo 3

Agora, temos que calcular a variância de Y :

σ Y 2 = E Y - μ Y

= ∫ x 3 x - 2 - 10 2 f ( x ) d x

= ∫ 0 ∞ 3 x - 12 2 1 4 e - x 4 d x

= lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t 9 x 2 - 72 x + 144 1 4 e - x 4 d x

= lim t → ∞ ⁡ 9 ∫ 0 t x 2 1 4 e - x 4 d x - 72 ∫ 0 t x 1 4 e - x 4   d x + 144 ∫ 0 t 1 4 e - x 4 d x

= lim t → ∞ ⁡ 9 32 - t 2 + 8 t e - t 4   - 72 4 - t e - t 4 + 144 1 - e - t 4

= lim t → ∞ ⁡ 144 - 9 t 2 + 144 e - t 4

De forma similar a média de Y , qualquer número elevado a menos infinito é zero.

σ Y 2 = 144

Resposta

μ Y = 10

σ Y 2 = 144

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