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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 38

A urna A tem 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. A urna B em 3 bolas brancas e 12 bolas pretas. Jogamos uma moeda honesta; se der cara, retiramos uma bola da urna A. Se der coroa, retiramos uma bola da urna B. Suponha que uma bola branca seja selecionada. Qual é a probabilidade de que tenha dado coroa na moeda?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos enumerar os eventos, relacionados as urnas, vamo lá

A - A   b o l a   é   t i r a d a   d a   u r n a   A   5   b r a n c a s ,   7   p r e t a s

B = A C - A   b o l a   é   t i r a d a   d a   u r n a   B   3   b r a n c a s ,   12   p r e t a s

W - U m a   b o l a   b r a n c a   é   e s c o l h i d a

No enunciado, a urna é escolhida baseado em uma jogada de cara ou coroa, então, obviamente, as chances são de 50%. Logo:

P A - P r o b a b i l i d a d e   d a   m o e d a   c a i r   c a r a = 1 2

P B - P r o b a b i l i d a d e   d a   m o e d a   c a i r   c o r o a = P A C = 1 2

Passo 2

Vamos entender um ponto importante aqui, como os conteúdos da caixa já são conhecidos, podemos calcular a probabilidade de qual bola está em qual caixa (Confuso? Vamos esclarecer de uma forma mais relacionada a probabilidade). Então:

P W A = 5 12   ( 5   b o l a s   b r a n c a s   e m   12   t o t a i s )

E para a caixa B e bola branca, nós temos que:

P W B = 3 15 = 1 5   3   b o l a s   b r a n c a s   e m   15   t o t a i s

Como as caixas A e B não existem correlação entre existência, logo, já podemos considerar como eventos mutuamente exclusivos, e com isso, a união desses dois eventos é todo o espaço amostral (Então, vamos utilizar a fórmula de Bayes)

P B W = P W B P ( B ) P W B P B + P W A P ( A )

Passo 3

Agora, nesse passo é somente substituir os valores (já que temos os valores de todas as probabilidades envolvidas na fórmula de Bayes), com isso, nós temos que:

P B W = 1 5 ∙ 1 2 1 5 ∙ 1 2 + 5 12 ∙ 1 2 = 1 10 1 10 + 5 24

Transformando para decimal, nós temos

P B W = 0,1 0,1 + 0,208 = 0,1 0,308

Essa divisão nos dá o seguinte valor aproximado:

P B W ≈ 0,3247   o u   32,47 %

Logo, a probabilidade de cair coroa dado que seja escolhida uma bola branca é de aproximadamente 32,47 % .

Resposta

P B W ≈ 0,3247   o u   32,47 %

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