Mostre que a função f(x) no exemplo 3-5 satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade através da soma das séries infinitas.

Passo 1

Seja f a função de massa de probabilidade da variável aleatória X com a fórmula:

f ( x ) = ( 1 - p ) x - 1 p ,   x ∈ N

para um p entre 0 e 1.

Claro que, f ( x ) ≥ 0 para todo x, então nós só temos para mostrar que:

∑ x - 1 ∞ f ( x ) = 1

Passo 2

Vamos, então, calcular:

∑ x = 0 ∞ ( 1 - p ) x - 1 p = p ∑ x = 0 ∞ ( 1 - p ) x = p × 1 1 - ( 1 - p ) = 1

onde usamos a fórmula que sabemos para a soma das séries geométricas!

Resposta

Calcule a soma ∑ x ∈ N f ( x ) empregando a fórmula da soma das séries geométricas.

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