Enunciado
Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 6.3 - Ex. 21
Para uma exponencial de parâmetro 1, calcule a probabilidade de sortearmos um valor que se distancie no máximo da média. Obtenha a expressão da função de distribuição dessa variável. Qual é o valor do terceiro quartil??
Passo 1
É muito importante sempre lembrar que em um modelo exponencial temos a seguinte função densidade de probabilidade:
Onde é justamente o parâmetro do modelo; isso significa que no nosso caso ficaremos com o seguinte:
E precisamos obter um valor , tal que:
Então precisamos encontrar o valor esperado para a nossa variável, se você se lembrar, essa média é definida por:
Ou seja,
No final das contas queremos:
Portanto:
Passo 2
Sabemos pela definição de um função de distribuição acumulada (f.d.a), que ela é obtida quando integramos a função densidade; temos:
Onde é a f.d.a e .
Tranquilamente:
Como quando , ficamos com:
Passo 3
Agora, vamos relembrar que diaxo é “quartil”?!
Nada mais são do que uma medida da simetria/dispersão dos dados; no terceiro quartil é onde temos:
Em outras palavras dos valores são menores do que e são maiores
Agora fica fácil encontrar usando a função de densidade:
Portanto:
Lembrando que:
Ou seja,
E aplicando em ambos os lados:
Chegamos em:
Resposta
Concluimos, que a chance de obtermos um valor distante no máximo 0,5 da média, é de 38,34%; vimos também que a função de desitribuição acumulada é:
Encontramos um valor de para o terceiro quartil da amostragem.