Para uma exponencial de parâmetro 1, calcule a probabilidade de sortearmos um valor que se distancie no máximo 0,5 da média. Obtenha a expressão da função de distribuição dessa variável. Qual é o valor do terceiro quartil??

Enunciado

É muito importante sempre lembrar que em um modelo exponencial temos a seguinte função densidade de probabilidade:

Onde é justamente o parâmetro do modelo; isso significa que no nosso caso ficaremos com o seguinte:

E precisamos obter um valor , tal que:

Então precisamos encontrar o valor esperado para a nossa variável, se você se lembrar, essa média é definida por:

Ou seja,

No final das contas queremos:

Portanto:

Sabemos pela definição de um função de distribuição acumulada (f.d.a), que ela é obtida quando integramos a função densidade; temos:

Onde é a f.d.a e .

Tranquilamente:

Como quando , ficamos com:

Agora, vamos relembrar que diaxo é “quartil”?!

Nada mais são do que uma medida da simetria/dispersão dos dados; no terceiro quartil é onde temos:

Em outras palavras dos valores são menores do que e são maiores

Agora fica fácil encontrar usando a função de densidade:

Portanto:

Lembrando que:

Ou seja,

E aplicando em ambos os lados:

Chegamos em:

Concluimos, que a chance de obtermos um valor distante no máximo 0,5 da média, é de 38,34%; vimos também que a função de desitribuição acumulada é:

Encontramos um valor de para o terceiro quartil da amostragem.