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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 85

O tempo entre as chegadas de táxis a uma interseção movimentada é distribuído exponencialmente, com uma média de 10 minutos.

  1. Qual é a probabilidade de você esperar mais de uma hora por um táxi?
  2. Suponha que você já estivesse esperando uma hora por um táxi, qual será a probabilidade de que um táxi chegue dentro dos próximos 10 minutos?
  3. Determine x tal que a probabilidade de você esperar mais de x minutos seja 0.10.
  4. Determine x tal que a probabilidade de você esperar menos de x minutos seja 0.90
  5. Determine x tal que a probabilidade de você esperar menos de x minutos seja 0.50

Passo 1

Seja X a variável aleatória distribuída exponencialmente com o seguinte média:

E ( X ) = 10

É uma variável aleatória contínua com a função de densidade de probabilidade e a função de distribuição cumulativa dados como:

f ( x ) = λ e - λ x ,   x   ≥   0

F ( x ) = 1 - e - λ x , x   ≥   0

Então, vamos calcular o parâmetro λ com a fórmula conhecida para a média da distribuição exponencial:

1 = E ( X ) = 1 λ

E assim temos:

λ = 1 10 = 0.1

Daí, vamos calcular.

Passo 2

Letra a:

P ( X > 1 h ) = P ( X > 60 ) = 1 - F ( 60 ) = e - 0.1 × 60 = e - 6 = 0.0025

Passo 3

Letra b:

Vamos empregar a propriedade de falta de memória:

P ( X < 70 | X > 60 ) = P ( X < 10 ) = F ( 10 ) = 1 - e - 0.1 × 10 = 0.63

Passo 4

Letra c:

Vamos escrever a equação:

0.1 = P ( X > x ) = 1 - F ( x ) = e - 0.1 × x

E resolver para achar o valor de x :

x =   - 1 0.1 l n 0.1   ≈   23

Passo 5

Letra d:

Vamos escrever a equação:

0.9 = P ( X < x ) = F ( x ) = 1 - e - 0.1 × x

E resolver para achar o valor de x :

x ≈ 23

Passo 6

Letra e:

Vamos escrever a equação:

0.5 = P ( X < x ) = F ( x ) = 1 - e - 0.1 × x

E resolver para achar o valor de x :

x = - 1 0.1 l n 0.5 ≈ 6.93 ≈ 7

Resposta

  1. 0.0025
  2. 0.63
  3. 23 minutos
  4. 23 minutos
  5. 6.93 ≈ 7minutos
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