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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 56

O número de automóveis que chegam a um cruzamento, por minuto, tem uma distribuição de Poisson com média de cinco. Temos interesse no tempo que transcorre antes de dez automóveis aparecerem no cruzamento.

(a) Qual é a probabilidade de que mais de dez carros apareçam no cruzamento durante um dado minuto?

(b) Qual é a probabilidade de que sejam necessários mais do que dois minutos antes que dois carros apareçam?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. A variável aleatória X representa o número de automóveis que chegam no cruzamento, por minuto.

X tem uma distribuição de Poisson com média 5.

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Vamos encontrar a probabilidade de mais de 10 carros aparecerem no cruzamento durante qualquer minuto.

P X > 10 = 1 - P X ≤ 10

= 1 - ∑ x = 0 10 e - λ λ x x !

= 1 - P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + … + P X = 10

= 1 - 0,0067 - 0,0377 - 0,0842 - 0,1404 - 0,1755 - 0,1755 - 0,1462 - 0,1044 - 0,0653 - 0,0363 - 0,0181

= 1 - 0,9863

P X > 10 = 0,0137

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de que sejam necessário mais de dois minutos para que dois carros apareçam.

y = x β

α = 10

β = 2 10 = 5

Sendo assim:

P X ≤ 2 = ∫ 0 2 x α - 1 e - x / β β α Γ α d x

Portanto, a probabilidade é:

P X > 2 = 1 - P X ≤ 2

= 1 - P ( Y ≤ 2 )

= 1 - ∫ 0 10 y β 10 - 1 e - y β 10 Γ α d y

= 1 - ∫ 0 10 y 9 e - y Γ ( 10 ) d y

= 1 - ∫ 0 10 y 9 e - y ( 9 ! ) d y

= 1 - 0,5421

P X > 2 = 0,4579

Resposta

a) 0,0137

b) 0,4579

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