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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 61

Quando a é um número inteiro positivo n , a distribuição gama também é conhecida como distribuição de Erlang. Fazendo a α = n na distribuição gama da página 126, a distribuição de Erlang é

f x = x n - 1 e - x / β β n n - 1 ! ,                                               x > 0 0 ,                                               c a s o   c o n t r á r i o

Isso pode ser mostrado quando os tempos entre eventos sucessivos forem independentes, cada um com uma distribuição exponencial com parâmetro β , então o tempo total de espera X   transcorrido até que todos os n eventos ocorram tem distribuição de Erlang. Em relação ao Exercício de revisão 6.60, qual é a probabilidade de que os próximos três telefonemas serão recebidos nos próximos 30 minutos?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. A distribuição de Erlang é dada por:

f x = x n - 1 e - x / β β n n - 1 ! ,                                               x > 0 0 ,                                               c a s o   c o n t r á r i o

Vamos usar X para representar o tempo total de espera decorrido até que ocorram 3 chamadas. X tem distribuição Erlang com parâmetro β = 1 / 6 .

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

A função de densidade de probabilidade de Erlang é:

f x = x n - 1 e - x / β β n n - 1 !

Substituindo os dados do enunciado n = 3 e β = 1 / 6 , nós temos:

f x = x 3 - 1 e - 6 x ( 1 / 6 ) 3 3 - 1 !

= 216 x 2 e - 6 x 2

f x = 108 x 2 e - 6 x

Sendo assim, a probabilidade que os próximos 3 telefonemas serão recebidos nos próximos 30 minutos é dada por:

P X ≤ 30 = ∫ 0 30 f ( x ) d x

= ∫ 0 30 108 x 2 e - 6 x d x

Aplicando uma substituição 6 x = y . Sendo assim, temos: 6 x = y     →     x = y / 6     → d x = 1 / 6 d y .

Então, os novos limites são dados por y = 0 e y = 6 30 = 180 .

P X ≤ 30 = 108 ∫ 0 180 y 2 36 e - y d y 6

= 1 2 ∫ 0 180 y 2 e - y d y

Aplicando integral por partes duas vezes:

= 1 2 - y 2 e - y - 2 y e - y - 2 e - y 0 180

= 1 2 - e - 180 180 2 + 2 180 + 2 - ( - e - 0 0 2 + 2 0 + 2

≈ 1 2 1 0 + 0 + 2

P X ≤ 10 ≈ 1

Sendo assim, a probabilidade que os próximos 3 telefonemas serão recebidos nos próximos 30 minutos é aproximadamente 1.

Resposta

P ( X ≤ 10 ) ≈ 1

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